دائرة

عرَّف إقليدس الدائرة في كتابه: الأصول، كما يأتي:[ِ 4]

الدّائرة هي شكلٌ مُسطّحٌ يَحصُرُه خطُ واحدٌ، بحيث تكونُ جميعُ القطعِ المستقيمةِ مرسومةً من نقطةٍ مُعيّنة داخلها إلى الخط الحاصر مُتساوية. فإن الخط الحاصر يُسمّى مُحيطاً والنقطة المُعيّنة تُسمّى مركزاً

يُعبِّرُ الرياضيون عن تعريف إقليدس للدائرة أيضاً باستخدام نظرية المجموعات على النحو الآتي:[18]

تعريف إقليدس في نظرية المجموعات — إذا وقعت النقطة ${\displaystyle O}$ على المستوى ${\displaystyle E}$ فإن الدائرة ${\displaystyle C}$ التي مركزها ${\displaystyle O}$ ونصف قطرها ${\displaystyle r}$ هي مجموعة جميع النقاط ${\displaystyle M}$التي تنتمي إلى المستوى ${\displaystyle E}$، وتبعد عن النقطة ${\displaystyle O}$ مسافةً مقدارها ${\displaystyle r}$.

ويمكن صياغة التعريف السابق رياضيَّاً بالشكل التالي:

$${\displaystyle C(O,r)=\left\{M\in E~:~{\overline {OM}}=r\right\}}$$

تعريف أبولونيوس للدائرة.

أثبت أبولونيوس أن الدائرة بالإمكان التعبير عنها على أنها المحل الهندسي لجميع النقاط التي نسبة بعدها عن نقطتين ثابتتين ثابتة. أو رياضياً: بفرض أنَّ ${\displaystyle A,B}$ نقطتين ثابتتين على المستوى، فإنَّ الدائرةَ التي بُؤرَتَيْها ${\displaystyle A,B}$ هي المحل الهندسي لجميع النقاط ${\displaystyle P}$ التي تُحقِّقُ أنَّ:[19][20][21]

$${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

النسبة التبادلية لدائرة

إسقاط النسب التبادلية من خط مستقيم إلى دائرة والعكس بمركزِ إسقاطٍ يقعُ على الدائرةِ. تُمثِّلُ نقاطُ التقاطُعِ رباعياً توافقياً.

النقاط ${\displaystyle A,B,C,D}$مع ${\displaystyle A',B',C',D'}$ مرتبطةٌ معاً تحت تحويلٍ إسقاطيّ. لذا فإن نسبتهم التبادلية ثابتة. وبمعنىً آخر، فإنَّ أي خط آخر (بالأحمر) يقطع الخطوط السوداء فإنه يحمل نفس النسبة التبادلية.

تُعرف النسبة التبادلية للقطعتين المستقيمتين ${\displaystyle {\overline {AC}},{\overline {BD}}}$ أو لرباعية النقاط ${\displaystyle A,B,C,D}$ المتسامتة على الترتيب: ${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}}}$ حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. وتُعمم النسبة التبادلية لتشمل الدائرة بتعريف المستوى العقدي بالصيغة الآتية: ${\displaystyle (z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={\frac {(z_{3}-z_{1})(z_{4}-z_{2})}{(z_{3}-z_{2})(z_{4}-z_{1})}}.}$. إذا كانت النقاط ${\displaystyle A,C,B}$ مُتسامتةً في المستوى العقدي كما الشكل، فإنَّ دائرة أبولونيوس لهذه الثلاث نقاط هي مجموعة النقاط ${\displaystyle P}$ التي تحقق أن معيار النسبة التبادلية مساوية لواحد.${\displaystyle |[A,B;C,P]|=1.\ }$. بمعنىً آخر: ${\displaystyle P}$ هي نقطة على دائرة أبولونيوس للنقاط ${\displaystyle A,C,B}$ إذا وفقط إذا كان معيار النسبة التبادلية ${\displaystyle [A,B;C,P]}$ مساوياً للواحد.[22][23][24]

تُعرّفُ النقطة ${\displaystyle D}$ على أنّها المرافق التوافقي للنقطة ${\displaystyle C}$ بالنسبة لـ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$. إذا كانت النسبة التوافقية للنقاط الأربع تساوي ${\displaystyle -1}$. وتُسمَّى حينئذٍ نسبةً توافقية. ونتيجةً لذلك، فإنَّ النسبة التبادلية بالإمكان اعتبارها على أنها مدى بُعدِ الأربع نقاط عن النسبة التوافقية.[25] النسبة التبادلية مُعرّفة منذ القِدَم، حيث يرجّح أن إقليدس هو أوّل من ذكرها، كما استعملها ببس الرومي الذي لاحظ خاصيّة ثباتها تحت التحويلات الخطية. فالنسبة التبادلية لأيِّ قطعةٍ مُستقيمةٍ تقطع 4 مستقيمات متلاقية هي ثابتة. بشكلٍ مُكافئ، يُعرّفُ ذلكَ في الهندسة الإسقاطية على أنَّ النسبة التبادلية ثابتةٌ تحت أي تحويلٍ خطيٍ كسريٍ.[25] في تعريفِ أبولونيوس للدائرة، تُسمَّى الخطوط ${\displaystyle {\overleftrightarrow {PA}},{\overleftrightarrow {PB}},{\overleftrightarrow {PC}},{\overleftrightarrow {PD}}}$ «حُزمة توافقية» وهي كل مجموعة خطوط متلاقية نسبتها توافقية (أي: نسبتها التبادلية تساوي ${\displaystyle -1}$). إنَّ نقاطَ تقاطعِ دائرةٍ مع حُزمةٍ توافقيةٍ رأسها ${\displaystyle P}$ يقع على الدائرة أيضاً يُنتجُ رباعياً توافقياً.[26]

في الهندسة التعاكسية، تتحول الدائرة الزرقاء المارّةُ بالدائرةِ الحمراءِ بعدَ التعاكسِ إلى دائرةٍ مُعممةٍ (الخط المُستقيم الأخضر).

في حال ما كانت ${\displaystyle C}$ منتصف القطعة ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ فعندئذٍ يُسمّى المحل الهندسي للنقاط ${\displaystyle P}$ التي تحقق الشرط أعلاه، «دائرة مُعمّمة». الدائرة المعممة قد تكون دائرةً فعليةً وقد تكون خطاً مُستقيماً. وبهذا، فإنَّ التعريف المعمم للدائرة يضمُّ الخطَّ المستقيمَ على أنه دائرة مركزها هو نقطة في اللانهاية أو دائرة ذات نصف قطر لانهائي. وتستعمل فروع هندسة أخرى كالهندسة التعاكسية والهندسة الإسقاطية في المستوى العقدي هذا التعريف للدائرة على أنها خط مستقيم.[27][28] هُناك أيضاً إعادة تعريف للنقطة على أنَها دائرةٌ مُنعدمة. يُستعمل هذا التعريف افتراضياً في المسائل المتعلقة بالمحور الأساسي.[29][30]

سلسلة من مضلعات منتظمة محصورة داخل دائرة. لاحظ أنه بازدياد عدد الأضلاع يقترب المُضلع شيئاً فشيئاً من أن يكون دائرةً.

بالإمكان تعريف الدائرة على أنها مُضلّعٌ منتظمٌ بنصف قطر مماسي (بالإنجليزية: Inradius)‏[ملاحظة 10] يُرمز إليه بالرمز ${\displaystyle r}$ أو نصف قطر محيطي (بالإنجليزية: Circumradius)‏[ملاحظة 11] يُرمز إليه بالرمز ${\displaystyle R}$ باعتبار أن عدد أضلاع المضلع المنتظم يؤول إلى اللانهاية. بناءً على هذا التعريف بالإمكان اشتقاق طول محيط المضلع عبر العلاقة الجبرية الآتية:[31]

$${\displaystyle {\begin{aligned}C=\lim _{n\to \infty }2rn\tan {({\tfrac {\pi }{n}})}=2\pi r\\=\lim _{n\to \infty }2Rn\sin {({\tfrac {\pi }{n}})}=2\pi R\end{aligned}}}$$

والمساحة، عبر العلاقة:[31]

$${\displaystyle {\begin{aligned}A=\lim _{n\to \infty }nr^{2}\tan {({\pi }{n})}=\pi r^{2}\\=\lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin {({\tfrac {2\pi }{n}})}=\pi R^{2}\end{aligned}}}$$

والنتيجتان تظهران مُتساويتين سواءً باستخدام نصف القطر المماسي أو نصف القطر المحيطي، لأن نصفي القطرين يؤولان للقيمة نفسها عند المالانهاية.[31]

تُوصف الدائرة على أنها حالة حدية خاصة باستعمال أكثر من مُقاربةٍ رياضيةٍ: من أشهرها هي وصفها قطعاً مخروطيّاً. تُصنّف الدائرة على أنها بيضاوي ديكارتي، نسبةً إلى رينيه ديكارت، وهو منحنى مستو ومجموعة النقاط في المستوى التي لها نفس التركيب الخطي (ويُعبّر عنه أيضاً بمجموعٍ موزونٍ) بالنسبة لنقطتين ثابتتين في المستوى. وهي بذلكَ حالةٌ خاصّةٌ منه تكون عند انعدام أحد الأوزان وتؤوُّلِه للصفر.[32] البيضاوي الفائق هو مجموعة نقاط في المستوى تحقق: ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$ حيث أنَّ ${\displaystyle n,a,b}$ أعدادٌ مُوجبة. تُعرَفُ «الدّائرةُ الفائقة» على أنها بيضاوي فائق يكون فيه ${\displaystyle a=b}$. والدّائرةُ هي حالةٌ خاصّة من الدائرة الفائقة تكون عندما ${\displaystyle n=2}$.[33]

تُوصَفُ الدائرةُ باعتبارها حالةً خاصةً من القطع الناقص، حيث تكونُ حينَ تنطبقا البؤرتان معاً لِتُكوِّنَ مركزَ الدّائرةِ؛ حينئذٍ، يكون الاختلاف المركزي مُساوٍ للصفر (${\displaystyle e=0}$) ويتساوى المحور الأكبر مع المحور الأصغر ليُكوِّنا قُطرَيْ الدائرةِ. وعلى الوجه المقابل فهي قطع مخروطي ينتج من تقاطع مخروط قائم مع مستوى عمودي على محوره.[31]

إن كان الشكلُ مقعراً، فبالإمكانِ زيادةُ مساحَتِه دون تغييرِ مُحيطه بأن يُطوَ جزؤه المقعّر ليكون مُحدّباً.

إذا كان الشكل مُمَطّطاً، فبالإمكانِ جعله أكثر استدارةً وبذلك زيادة مساحته دون تغيُّرٍ يطرأُ على طولِ مُحيطِه.

تعود مسألة المحيط الثابت إلى القِدمِ، وتصاغ كالآتي: «من بين جميعِ المُنحنياتِ المُغلَقةِ ذات مُحيطٍ مُعطىً، أيُّها يجعلُ مساحتها أكبر ما يُمكن؟» وُجِدَ أنّ هذه المسألةَ مُكافئةٌ لمسألة شبيهة: «من بين جميع المنحنيات المُغلقة ذات مساحةٍ مُعطاةٍ، أيُّها يجعلُ محيطَها أكبرُ ما يُمكن؟». وتختصُّ الدائرةُ بأنها الحل لهذا المسألة. إذ توصف على أنَّها الشكلُ الذي يحصر أكبر مساحةٍ نسبةً إلى طول مُحيطه.[34]

ترتبط هذه المسألةُ بمفهومِ مبدأِ الفعلِ الأدنى في الفيزياء، والذي بالإمكان صياغته على الصورة: ما «الفعلُ الذي يجعل المساحة أكبر ما يُمكن بأقلّ جهدٍ ممكن؟» على الرغم من أنَّ الدائرةَ كانت الحل الأوضح لهذه المسألة، إلا أنّ إثباتَ ذلكَ كان صعباً. أوّل محاولة أنَجَزَتْ في السؤالِ كانت سنة 1838م عندما استعمل المهندس الرياضياتي السويسري ياكوب شتاينر طريقةً هندسيةً أُسميَت لاحقاً بطريقةِ شتاينر للاستنظار. أثبت شتاينر أنَّه إذا وُجِدَ حلٌّ لهذه المسألةِ فلا بُدّ وأن يكون دائرةً. استئنف رياضيّون حلّ شتاينر لاحقاً وأكملوه.[35]

بدأ شتاينر بأول الإنشاءات الهندسية التي عُرفت جيداً؛ فعلى سبيلِ المثالِ، إن كان هناك منحنى مغلق ليس محدباً بالكامل، فبالإمكان إيجاد منحنى أكثر تحدباً منه وأعلى في المساحة عن طريق طَيّ الأجزاء المقعرة لجعلها محدبة. وبُرهِنَ أيضاً أن أي شكل لامتماثل بالإمكان تمديده بحيث يُغطي مساحةً أكبر. ولأن الشكل الوحيد المُحدب والمتناظر تماماً هو الدائرة فإن الحل كان لا بد وأن يكون هو. مع ذلك، هذا الحل بمفرده لا يُقدّمُ بُرهاناً صارماً للمسألة، إذ أنَّه مليءٌ بالثغرات التي تحتاج إلى المراجعة.[35]

غالباً ما يُعبّرُ عن مسألة المحيط الثابت بمتباينةٍ تربطُ طولَ منحنىً مغلقٍ بمساحته. تنص متباينة المحيط الثابت على أنَّ:[35][36]

$${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2}}$$

وتحقّق المساواةُ إذا وفقط إذا كان المنحنى دائرةً. مساحة القرص ذو الشعاع ${\displaystyle R}$ هو ${\displaystyle \pi R^{2}}$ ومُحيطُ الدائرةِ هو ${\displaystyle 2\pi r}$ بِهذا فإنّ كلا الطرفين يصبحان ${\displaystyle 4\pi R^{2}}$. وُجدت عشرات البراهين المختلفة لمتباينة المحيط الثابت، ففي 1902، نَشَرَ أدولف هرفيتز بُرهاناً قصيراً باستخدام متسلسلة فورييه التي تُطبّق لأي منحنى محدود الطول حتى ولو كان مقعراً. في عام 1938م، قدّم شميت حلّاً أنيقاً للمسألةِ بناءً على مقارنةٍ بين منحنىً بسيط مغلق سَوِيٌّ مع دائرة معطاة. استخدم الحل صيغة طول القوس، صيغة مساحة السطح من مبرهنة غرين ومتباينة كاوشي شفارتز.[35] لأي منحنى مغلق، كسر المحيط المغلق يُعرف على أنه النسبة بين مساحته وبين مساحة الدائرة ذات المحيط نفسه. رياضياً:[35]

$${\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}$$

تنص متباينة ثباتية المحيط على أنَّ ${\displaystyle Q\leq 1}$ بالتكافؤ، فإنّ نسبة ثباتيّةُ المحيط${\displaystyle {\frac {L^{2}}{A}}}$ هي على الأقل ${\displaystyle 4\pi }$ لكل منحنى.[36] أما بالنسبة للمضلعات المنتظمة النونية، فإنّ نسبة ثباتية المحيط هي:[36] ${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan {\tfrac {\pi }{n}}}}.}$. إذا كان ${\displaystyle C}$ منحنى مغلقاً محدباً سَويَّاً فإنَّ متباينة ثباتية المحيط المُطوَّرة تنص على أنَّ:[35]

$${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}$$

حيث أن ${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$ ترمز إلى طول ${\displaystyle C}$ والمساحة التي يحصرها، والمساحة المتجهة له، على الترتيب. تحقق المساواة فقط وإذا فقط كان ${\displaystyle C}$ منحنى ثابت العرض.[35]

رسم توضيحي لدوائر الوحدة في معايير ${\displaystyle p}$ مختلفة. حيثُ أنَّ كل متجهٍ من نقطة الأصل إلى دائرة الوحدة يُساوي وحدةً واحدةً. يُحسَبُ الطولُ بناءً على صيغة المسافة المرتبطة مع ${\displaystyle p}$.

تعريفُ دائرةٍ على أنها مجرد مجموعة نقاط ذات بعد ثابت عن نقطة يُؤدِّي إلى ضمّ أشكالٍ أخرى إلى هذا التعريف. تُعدّ هذه الأشكالُ دوائرَ بسبب يعود إلى تعاريفٍ مُختلفةٍ للمسافة عن التعريف الإقليدي لها المُعتاد. ففي المعيار-${\displaystyle p}$ (بالإنجليزية: p-norm)‏، تُعرَّفُ المسافة بالقانون:[37][38]

$${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

بينما في الهندسة الإقليدية، وكحالةٍ خاصةٍ، تكون ${\displaystyle p=2}$، وبهذا تكون الصيغة المعروفة:[37][38]

$${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.}$$

في هندسة سيارة الأجرة، تكون ${\displaystyle p=2}$. دوائر سيارة الأجرة تُعرّف على أنها مربعات مدوّرة بزاوية 45 بالنسبة إلى محاورها الإحداثية. على الوجه المقابل، فاعتماداً على تعريف المسافة الشبشفية، فإنَّ الدائرة ذات الشعاع ${\displaystyle r}$ في المستوى هي أيضاً مُربّع ذو ضلع ${\displaystyle 2r}$. لكنها خلاف دائرة سيارة الأجرة، توازي المحاور الإحداثية.[37][38]

ثابت النِّسبة ${\displaystyle \pi }$هو طول مُحيط دائرة قطرها وِحْدة واحدة.

جزء من سلسلة مقالات حول
الثابت الرياضي π
الاستعمالات مساحة القرص المحيط صيغ أخرى
الخواص لا نسبية عدد متسام
القيمة تقريبات تذكّر أقل من 22/7
أشخاص أرشميدس ليو هوي زو تشونغزي أريابهاتا مادهافا السنغماراي لودولف فان ساولن سيكي تاكاكازو تاكيبي كينكو ويليام جونز جون ماكن ويليام شانكس جون رنش الإخوان شودنوفسكي ياسوماسا كانادا
تاريخ تسلسل زمني كتاب
متعلقات متعلقات: تربيع الدائرة معضلة بازل نقطة فينمان أخرى
بوابة هندسة رياضية

يتناسبُ طولُ مُحيطِ الدائرةِ مع طول قطرِها.[ملاحظة 13] ويُرمز لهذه النسبة بـ«${\displaystyle \pi }$»[ملاحظة 14] أو «ط». يُربَطُ بينَ ثابتِ النّسبة ${\displaystyle \pi }$ وبينَ القطرِ والمُحيطِ بالمُعادلة التّالية، مع اختلافِ بعضِ الصّيغِ المُشتّقة منها:[ِ 7][ِ 4]

$${\displaystyle {\frac {C}{d}}=\pi \Leftrightarrow C=\pi d=2\pi r\Leftrightarrow d={\frac {C}{\pi }}}$$

في مسائل الدّائرة وإيجاد المجاهيل منها، غالباً ما يُستعملُ تَقريبٌ لقيمة ${\displaystyle \pi }$، وهو مُشتَقٌّ من مُتباينة أرخميدس التي أوجدها عبر حصر مُحيط الدائرة بين مُضلَّعين. الفقرة الآتية توضح التقريبات الشّائعة لقيمة ${\displaystyle \pi }$:[41]

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {22}{7}}\approx 3.14}$$

$${\displaystyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159\ 29^{+}}$$

على الرغم من تعريف ${\displaystyle {\pi }}$ الأساسي على أنه نسبة المحيط إلى القطر، إلا أن لدى ${\displaystyle {\pi }}$ تعريفاتٍ متكافئة أخرى تظهر في العديد من الصيغ في جميع مجالات الرياضيات والفيزياء. ويُمَثلُ بالحرف اليوناني ${\displaystyle {\pi }}$ منذ منتصف القرن الثامن عشر. على الرغم من أنه يُنطَق باي، إلا أنه يسمى أيضاً ثابت أرخميدس. بسبب كونه عدداً غير نسبي، ${\displaystyle {\pi }}$ لا يمكن التعبير عنه ككسر، أي لا يمكن كتابته على صورة ${\displaystyle a/b}$. بالمقابل، تمثيله العشري لا ينتهي ولا يستقر أبدًا في نمط تكراري منتظم. مع ذلك، فإن الكسور مثل 22/7 والأرقام الحقيقية الأخرى تستخدم عادة لتقريب ${\displaystyle {\pi }}$. كما أن ${\displaystyle {\pi }}$ عدد متسامٍ؛ بمعنى أنه ليس جذراً لأي كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية. هذه الخاصيَّة حلت المسألة القديمة المتمثلة في تربيع الدائرة باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة.[42][43] في القرنين العشرين والواحد والعشرين، اكتشف علماء الرياضيات وعلماء الحاسوب مقاربات جديدة، عندما اقترنت بزيادة القدرة الحسابية، وسعت التمثيل العشري لـ${\displaystyle {\pi }}$ إلى العديد من تريليونات من الأرقام بعد العلامة العشرية.[44][45] تعلق الثابت ${\displaystyle {\pi }}$ بالدائرة، جعله يوجد في العديد من الصيغ في علم المثلثات والهندسة، وخاصة تلك المتعلقة بالدوائر، والقطوع الناقصة، ومجالات التحليل الرياضي.

توضيح للطريقة المُستخدمة في استنتاج قانون مساحة الدائرة تقديريّاً.

تَتَناسبُ مِسَاحةُ الدّائرةِ طرديّاً مع مُربّع نصفِ القطرِ بثابتِ تناسبٍ يُطلق عليهِ ${\displaystyle \pi }$. ومِسَاحةُ الدائرةِ هي أكبرُ مساحةٍ من بين الأشكالِ نسبةً إلى محيطها. وهذا يربِطُ الدائرةَ بِمُعْضِلَةٍ في مجالِ حسابِ التغيراتِ تُسمَّى مُتَباينةَ المُحيطِ الثَّابِتِ. استُعمل مفهوم النّهايات المُتتالية للحصول على قانون مساحة الدّائرة. وهذا المفهومُ قائمٌ على تقسيمِ قِرْصِ الدّائرةِ إلى قِطاعاتٍ ثمَّ جَمعِها. بعدَ التقسيمِ، ينتجُ مستطيلٌ طُولُه ${\displaystyle \pi r}$ وعَرْضُه ${\displaystyle r}$. وعلى هذا، تَكونُ مساحةُ الدّائرةِ مُكافئةً لمساحة المُستطيلِ بالقانون:[ِ 7]

$${\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r\cdot r=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2}}$$

قطاع دائري في دائرةٍ شعاعها ${\displaystyle r}$، مظلل بالأخضر، ويُغطّي قوساً طوله ${\displaystyle L}$.

هو منطقة المستوى التي تحصرها الدّائرة. ويعرَّف رياضيَّاً:[ِ 2]${\displaystyle C(O,r)\cup Int~C(O,r)=\left\{P\in E~:~{\overline {OP}}\leq r\right\}}$.

يعتمد حجم قطاع الدائرة على قياس الزاوية المركزية التي يحصرها ونصف قطر الدائرة. حيث يُمثِّل القطاع نسبةً من مساحة الدّائرة الكُلّية هي نفسها نسبة قياس زاويته المركزية على قياس الدائرة الكُلّية. أي أن: مساحة القطاع مُساوية لحاصل ضرب نسبة زاويته المركزية لزاوية الدائرة الكلية في مساحة الدائرة الكُلّية.[ِ 7][47]

$${\displaystyle A_{S}=\pi r^{2}\cdot {\frac {v}{360^{\circ }}}=(v{\text{ rad}})\cdot r^{2}}$$

تُستعمل القطاعات كذلك في الإحصاء لتمثيل البيانات. وبطريقةٍ مُشابهة، يُؤخذ تناسب زاوية القطاع المركزية إلى ${\displaystyle 360^{\circ }}$ مع النسبة المئوية للبيانات، حيث تُمثّل الدائرة الكاملة في الإحصاء نسبة ${\displaystyle 100\%}$.[48]

تُعرّفُ قوةُ نقطة ما بالنسبة لدائرة ثابتة على أنها مربع المسافة بين النقطة ومركزِ الدائرة مطروحاً من مربع نصف قطر الدائرة. رياضيّاً: في قوة النقطة ${\displaystyle P}$ بالنسبة للدائرة ${\displaystyle C(O,r)}$ هي المقدار:${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=OP^{2}-r^{2}}$. نتيجةً لذلك، إنَّ قوةَ النُقطةِ ${\displaystyle P}$ تكونُ مقداراً سالباً عندما ${\displaystyle OP<r}$ أي أّنها نقطةٌ داخليةٌ للدائرة، وتكون مقداراً مُنعدماً عند وقوعها نقطةً مُحيطيّةً، ومقداراً موجباً عندما تقع خارج الدائرة. في الصيغِ الرياضيةِ لمبرهنات قطع الوتر والقاطع وقاطع التماس، يظهرُ في جميعِها مقدار قوة النقطة؛ لذا فإنها تُسمّى جميعها بمبرهنات قوة النقطة. أيّ أنَّ ${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)}$ هو مقدارٌ ثابت لكل نقطة ودائرة ثابتتين، وأنَّ أي خط مستقيم يمر بهذه النقطة فإن الصيغ الرياضية المرتبطة به تساوي ${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)}$.[ِ 8][50][51]

كما تُعرّفُ قوة النقطة الواقعة خارج دائرة على أنّها مُربّعُ المماس الخارج من هذه النقطة إلى الدائرة. وتُثبت هذه العلاقات باستخدام مبرهنة فيثاغورس ومبرهنة تعامد شعاع الدائرة مع المماس عند نقطة التماس: لتكن ${\displaystyle T}$ نقطة تماس المماس الخارج من ${\displaystyle P}$ إلى الدائرة ${\displaystyle O}$. من مبرهنة التعامد: ${\displaystyle OT\perp PT}$، بتطبيق فيثاغورس في المثلث القائم: ${\displaystyle \triangle OTP}$، فإنَّ ${\displaystyle OT^{2}+PT^{2}=OP^{2}}$ أو بشكلٍ مكافئ:${\displaystyle OP^{2}-OT^{2}=PT^{2}=OP^{2}-r^{2}}$.[ِ 8][ِ 3]

نظريات قوة النُّقطة[ِ 3][49][ِ 8]

الاسم	الصيغة الرياضية	النص
مبرهنة قِطَع الوتر	${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=P_{1}B\cdot P_{1}D=P_{1}A\cdot P_{1}C}$	إذا تَقاطعَ وَتَرانِ في دائرةٍ فَإنَّ حَاصلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزأيْ الوَتَرِ الأوَّلِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولَيْ جُزْأيْ الوَتَرِ الثَّانِي.
مبرهنة القاطع	${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=P_{2}X\cdot P_{2}Y=P_{2}Z\cdot P_{2}W}$	إذا رُسِمَ قَاطِعَانِ لدائرةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها، فإنَّ حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القاطِعِ الأوَّلِ في طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ، يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ الثَّانِي فِي طُولِ الجُزْءِ الخَارِجِيِّ مِنهُ.
مبرهنة قاطعُ التَّماسِ	${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(P)=PT^{2}=PA\cdot PB}$	إذا رُسِمَ مَمَاسٌّ وقَاطِعٌ لدائِرَةٍ من نُقطَةٍ خَارِجها فإنَّ مُربَّعَ طُولِ المَماسِ يُساوي حَاصِلَ ضَرْبِ طُولِ القَاطِعِ في طُولِ الجُزءِ الخَارِجِيِّ مِنْه.تEعرف في الهندسة المستوية بأنها عدد حقيقي يعبر عن المسافة النسبية لنقطة معطاة في دائرة.[52]

مبرهنتا قِطَعِ الوترِ والقاطع.	مبرهنة قاطعِ التَّماسِّ.

رسم هندسي يُوضِّح أجزاء الدائرة المُتماثلة والمُعلَّمةُ بالألوان: جميعُ النقاط ${\displaystyle T,Q,M,O,P}$ تتسامَتُ على العمود المنصف للقطعة ${\displaystyle AB}$ وهي بذلكَ تبعدُ البعدَ نفسه عن ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$.

في نظرية الزمر، الدائرة هي أكثرُ الأشكالِ تناظراً. أيُّ مُستقيمٍ مُنصِّفٍ (خطٍّ مُستقيمٍ يمرُ بمركزِ الدائرةِ) يُحَقِّقُ خاصيةَ التناظر الانعكاسي وخاصيةَ التناظر الدوراني. زُمرة تماثل الدائرة هي زمرةٌ متعامدةٌ ${\displaystyle O(2,R)}$. زمرة الاستدارات الخاصة بالدائرة تُسمى زمرة الدائرة (${\displaystyle \mathbb {T} }$) وتُعرّف على أنها زمرة ضربية تحتوي على جميع الأعداد المركبة التي معيارها مساوٍ لـ1.[61]

$${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C}$$ :|z|=1\}~.}

في الدائرة ذات المركز ${\displaystyle O}$ والوتر ${\displaystyle {\overline {AB}}}$، المثلث ${\displaystyle \triangle ABO}$ متطابق الضلعين. إذا كانت ${\displaystyle M}$ نقطة منتصف ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ فإنَّ ${\displaystyle \triangle AMO\cong \triangle BMO}$ من تطابق (SSS)، وعليه فإنَّ ${\displaystyle \angle AMO\cong \angle BMO}$ وكذلك ${\displaystyle OM\perp AB}$. أيضاً الزاويتان ${\displaystyle \angle AOM\cong \angle BOM}$. إذا كانت ${\displaystyle P,Q}$ نقطتا تقاطعِ المستقيمِ ${\displaystyle OM}$ مع الدائرة، فإنَّ من تطابق ${\displaystyle \triangle OAP\cong \triangle OBP}$ (SSS) والذي يُنتج ${\displaystyle {\overline {AP}}\cong {\overline {BP}}}$. كنتيجة، القوسان ${\displaystyle AP,BP}$ متطابقان أيضاً. بالمثل، ${\displaystyle \triangle AOQ\cong \triangle BOQ}$ (من تطابق SAS) و${\displaystyle {\overline {AQ}}\cong {\overline {BQ}}}$. وهذا يعني أن الدائرةَ ${\displaystyle O}$ ونقطتي مُنتصفي القوس الأكبر والقوس الأصغر جميعهم يقعون على العمود المنصف للوتر ${\displaystyle {\overline {AB}}}$. إذن، مركز أي دائرة هو تقاطع المنصفين العموديين لأي وترين على الدائرة.[49][ِ 8]

إذا كانت ${\displaystyle T}$ تقاطع مماسات الدائرة عند ${\displaystyle A,B}$، فمن مبرهنة فيثاغورس، ${\displaystyle TA^{2}=TO^{2}-OA^{2}=TO^{2}-OB^{2}=TB^{2}}$. مما يعني أنَّ ${\displaystyle TA=TB}$. بعبارةٍ أخرى، قطعتا التماس المنطلقة من نقطة إلى دائرة متطابقانِ. من تطابق (SSS تطابق) فإنَّ ${\displaystyle \angle OAT\cong \angle OBT}$، إذن، الزاوية ${\displaystyle TOA=TOB}$، ومن النتيجة السابقة، فإنَّ ${\displaystyle T}$ تقع على المنصف العمودي لـ${\displaystyle AB}$. إذا قطع مُستقيمان مُتوازيان الدائرة ${\displaystyle O}$ في ${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}}$ فإنَّ الشكلَ الناتج هُو شبه مُنحرف متطابق الساقين. والعكس صحيحٌ أيضاً، فإن كُلَّ شبهِ مُنحرفٍ متطابق الساقين يُعدُّ رباعيَّاً دائريَّاً.[49][ِ 8]

تتلخَّصُ النتائج السابقة في ما يلي:[49][ِ 3][ِ 2]

• العمود المنصف لوتر يُنصف القوسين اللذان يحصرهما ويمر بمركز الدائرة.
• يتساوى وتران في الدائرة إذا وفقط إذا وقعا على مسافة واحدة من مركز الدائرة.
• الوتران الموازيان في دائرة يقسمانها يحصران قوسين متساويي الأطول.
• القطر العمودي على وتر في دائرة يُنصِّفه ويُنصِف كلاً من قوسيه. القطر الذي يُنصِّف وتراً (ليس قطراً) في دائرة يكون عموديَّاً على هذا الوتر. العمود المنصف لوتر في دائرة يمر بمركز الدَّائرة.
• المماس عند نقطة التماس يتعامد مع بنصف القطر الواصل بينها وبين المركز.
• المماسان من نقطة واحدة خارج الدائرة متطابقان.

ليكن ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ وتراً في الدائرة ${\displaystyle C(O,r)}$. بتطبيقِ متباينة المثلث: ${\displaystyle OB+OC>AB}$ لكنَّ ${\displaystyle OA=OB=r}$، إذن بالتعويض ينتجُ ${\displaystyle AB<2r}$. أي أنّ: «طول أي وتر داخل الدائرة لا يزيد عن طول القطر». وتحصل المساواة عند تلاشي المثلث وانتماء مركز الدائرة إلى الوتر أي كون ${\displaystyle AB}$ قطراً في الدائرة.[ملاحظة 24] في الدَّائرة نفسها أو في الدَّوائر المُتطابقة، يتطابق قوسان إذا وفقط إذا تطابقت الزاويتان المركزيَّتان المتقابلتان معهما. والعكس صحيحٌ أيضاً، أي أنَّ أطوال أوتار الدائرة الواحدة أو الدوائر المتطابقة، تتساوى إذا وفقط إذا تساوت قياسات أقواسهما المتناظرة. بفرض أن الوترين ${\displaystyle {\overline {AB}},{\overline {CD}}}$ لهما الطول نفسه في الدائرة ${\displaystyle C(O,r)}$، من تساوي أشعة الدائرة الواحدة يكون: ${\displaystyle OA=OB=OC=OD=r}$. وعلى ذلك ${\displaystyle \triangle OAB\cong \triangle OCD}$، وبما أن الزوايا المتناظرة لمثلثين متطابقين متطابقة ينتج المطلوب. مبرهنة: الوتر الأكبر يحصر قوساً ذا قياسٍ أكبر من قياس القوس الذي يحصره الوتر الأصغر. والعكس صحيح. كما أنَّ الوترَ الأكبرَ يبعُدُ بعداً عن مركز الدائرة أقل من بعد الوتر الأصغر.[ِ 2]

عمق القوس (بالأزرق) هو العمود من منتصف القوس إلى منتصفِ وترِهِ.

عمق القوس (بالإنجليزية: Sagitta)‏ هو قطعة مستقيمة تصل بين منتصف قوسٍ ومنتصف وتره.[62] تُستعمل حسابات عمق القوس بكثافة في العمارة. يُحسب عمق القوس ذي الزاوية ${\displaystyle \theta }$ في الدائرة التي نصف قطرها ${\displaystyle r}$ بالصيغة:

$${\displaystyle s=r\operatorname {versin} \theta =r\left(1-\cos \theta \right)=2r\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}.}$$

بشكلٍ مُماثل، يُقاسُ طول الوتر المحصور في قوس قياس زاويته ${\displaystyle \theta }$ بالصيغة ${\displaystyle 2r\sin \theta }$.[63] أما إذا أُعطي وترٌ طوله ${\displaystyle y}$ وقوسٌ يحصر الوتر ذو عمقٍ مساوٍ لـ${\displaystyle x}$ فباستعمال مبرهنة فيثاغورس يُقاس نصف قطر الدائرة المارَّة بالوتر وعمق القوس كالآتي:[64][65]

$${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

إذا تقاطعت دائرتان، فإنّ خط قوتهما هو المستقيم المار بنقطتي تقاطعهما أو وترهما المشترك.

مركزُ قوةِ الدوائرِ الثلاثِ هو مركزُ دائرةٍ وحيدةٍ تقطعهم عمودياً .

خط القوة أو المحور الأساسي (بالإنجليزية: Radical axis)‏ لدائرتين ما، هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تتساوى قُوَّتها بالنسبة لهما. وبشكل مكافئ، إذا كانت الدائرتان متباعدتان ولا تحتوي إحداهما الأخرى فبالإمكان تعريف خط القوة على أنه المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي يكون طول المماسين المارين بها والمماسين للدائرتين متساوٍ. المحور الأساسي دائماً يتَّخذ خطّاً مستقيماً تكون نقاطه متساوية القوى بالنسبة للدائرتين؛ ولذلك فإنه يُسمَّى بخط القوة. عدا أنه في حالة اتحاد الدائرتين مركزياً يصبح خط القوة غير مُعرَّف. وفي حالة تقاطع الدائرتين، فإن خط القوة يمر بنقطتي تقاطعهما أو تماسهما. خط القوة عمودي دائماً على الخط الواصل بين مركزي الدائرتين وهو أقرب لمحيط الدائرة الأكبر. ومن خصائصه:[66][ِ 3]

• خط القوة لدائرتين عمودي على المُستقيم المار بمركزيهما ويُنصِّفُ وترَهُما المُشتركَ.
• خط القوة لدائرتين متقاطعتين يمر بنقطتي تقاطعهما.
• خط القوة لدائرتين متماسَّتين يمر بنقطة تماسّهما ويكون حينئذٍ مماسَّاً مُشتركاً لهما.
• خط القوة لدائرتين مُتماسّتين من الخارج يمر بمنتصف قطعة المماس المُشترك الآخر لهما.
• لأي ثلاث دوائر مراكزها ليست على استقامةٍ واحدةٍ، فإن محاورها الرَّئيسيَّة مثنى مثنى تتقاطع في نقطة واحدة تُسمَّى المركز الأساسي أو مركز القوة للدوائر الثلاث.

لتكن ${\displaystyle A,B,C}$ دوائرَ غير متحدةٍ مركزياً مثنىً مثنىً. فإنَّ مبرهنة خط القوة تنصُّ على أنَّ الثلاثَ خطوط القوة لكل زوجِ دوائرَ إما أن تتوازى أو تلتقي في نقطة تُسمَّى: مركز قوة الدوائر. ويُقال تقنياً أيضاً عن خطوط القوى عندما تتوازى بأنّها تلتقي في نقطة في اللانهاية.[66]

وبُرهانُ ذلك: من خواصّ خط القوة لزوجِ دوائرَ، أنَّ المماسات المنطلقة من نقطة تقع عليه لدائرتين تتطابق. فإذا التقى خطّ قوة الدائرتين ${\displaystyle A,B}$ مع محور الأساسي الدائرتين ${\displaystyle C,D}$ في نقطة ${\displaystyle M}$ فإنَّ المماسات المنطلقة من ${\displaystyle M}$ لجميعِ الدوائرَ تتطابق، أي أنَّ: ${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,A)={\mathcal {Pow}}(M,B)}$ وأيضاً ${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,B)={\mathcal {Pow}}(M,C)}$ فبالتعدّي، يُصبح ${\displaystyle {\mathcal {Pow}}(M,C)={\mathcal {Pow}}(M,A)}$وبتطبيق عكسِ مبرهنة خط القوة، فإنّ النقطة ${\displaystyle M}$ تقعُ على خط القوة للدائرتين ${\displaystyle C,A}$ وبذلكَ يحصل تلاقي جميع خطوط القوة في النقطة ${\displaystyle M}$. من البرهانِ السابق، تَصيرُ النقطة ${\displaystyle M}$ مركزاً لدائرةٍ تقطعُ الدوائر الثلاث. وتُعدّ هذه الدائرةُ دائرةً وحيدةً لكُلِّ 3 أزواج من الدوائر وتكون مُتعامِدةً عليهم جميعاً.[66]

رسمٌ يُوضَِحُ جميعَ الدوائرِ التي تَمسُّ أضلاعَ المثلثِ أو امتداداتِ أضلاعه. وهي 3 دوائرٍ خارجيةٍ باللون البرتقالي ودائرةٌ داخليةٌ زرقاء.

تُصنّف مراكز الدوائر الخاصة بالمثلث على أنها من مراكز المثلث. من أبرزها: دائرة المثلث الداخلية، دائرة المثلث المحيطة، دائرة النقاط التسع و3 دوائرَ خارجية للمثلث.[ِ 3][ِ 8] لكل مثلث يُوجد دائرة وحيدة تمس جميع أضلاعه تُسمَّى الدَّائرة الدَّاخلية أو الدَّاخلة. الدَّوائر الخارجيَّة لمثلث لكل مثلث توجد ثلاث دوائر خارجية تمس امتدادات أضلاعه. تُنشأُ الدوائر الماسة للمثلث[ملاحظة 26] بأخذ منصفات الزوايا الخارجية والداخلية للمثلث، إذ تتقاطع هذه المنصفات في مراكز الدوائر الماسة. يمرُّ خط أويلر بمركزَي الدائرتين البارزتين في المثلث: دائرة النقاط التسع ودائرته المحيطة، بالإضافة إلى نقطتي ملتقى ارتفاعات المثلث وملتقى متوسطاته. كما تربط مبرهنة فويرباخ بين أبرز دوائر المثلث: دائرة النقاط التسع ودوائره الماسة: الدائرة الداخلية والدوائر الخارجية الثلاث.[68][ِ 8]

• 
  يقع مركز محيطة مثلثٍ ما داخلَه إذا وفقط إذا كانت جميع زوايا المثلث حادة.
• 
  يقع مركز مُحيطة مثلث قائم على وتره (مبرهنة طاليس).
• 
  يقع مركز محيطة مثلث حاد خارجه.

تُعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لمركز دائرة المثلث المُحيطة بالصيغة:[24][ِ 8]

$${\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$$

يرتبطُ نصفُ قطرِ مُحيطةِ الُمثلَّثِ بعلاقةٍ هامّة تُسمّى قانون الجيوب أو قانون الجيوب المُوسَّع:[ِ 3][ِ 8]

$${\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}$$

كما يُعبّرُ عنه في علاقاتٍ أخرى مُشتقّةٍ من قانون الجيب الموسّع وصيغة هيرون لمساحة المثلث:[24][ِ 8]

$${\displaystyle {\begin{aligned}2R&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}}$$

تنُصُّ مبرهنةُ أويلر على أنَّ:${\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}$

والصيغةُ المُثلَّثية المكافئة لما سبق تكون كالآتي:[24][ِ 8]

$${\displaystyle 2R={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.}$$

تربط مبرهنة أويلر في الهندسة بين شُعاعَي الدائرة المحيطة والدائرة الداخلية بالعلاقة:[69][70][ِ 8]

$${\displaystyle OI={\sqrt {R(R-2r)}}}$$

تُقاسُ المسافةُ بين مركز محيطة المثلث ونقطة تقاطع ارتفاعاته بالصيغة:[71][72]

$${\displaystyle OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.}$$

حتى لو وقعت نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث خارجَه، فإن إنشاء دائرة النقاط التسع يبقى مُمكناً.

تنص مبرهنة كارنو على أنَّ مجموع الأبعاد المُؤشّرة من مركز محيطة المثلث إلى أضلاعه يساوي مجموع شعاعَيْ دائرتَيْ المثلث المحيطة والداخلية:[73]

$${\displaystyle DF+DG+DH=R+r}$$

دائرة النقاط التسع هي دائرةٌ في المثلث تَمُرُّ بتسعِ نقاطٍ مُهمّةٍ فيه. تحديداً:[74][75][76][ِ 8]

• منتصف كل ضلع المثلث.
• مسقط كل رأس المثلث.
• منتصف كل قطعة واصلة بين رأس المثلث وملتقى ارتفاعاته.

من تعريفات دائرة النقاط التسع أنَّها صورة دائرة المثلث المحيطة بعد تحاكٍ مركزه ملتقى الارتفاعات ومعامل تصغير النصف. وكنتيجة، فإنَّ قطر دائرة النقاط التسع يساوي نصف قطر الدائرة المحيطة. وكذلكَ فإنَّ دائرة النقاط التسع تمر بمنتصف أيّ وتر يمر بنقطة ملتقى ارتفاعات المثلث. بينما بشكلٍ مُشابه، يُنصّف مركز دائرة النقاط التسع (والذي يُرمز إليه بالنقطة ${\displaystyle N}$) القطعة المستقيمة ${\displaystyle {\overline {OH}}}$ الواصلة بين مركز محيطته ونقطة ملتقى ارتفاعاته أي أنَّ: ${\displaystyle {\overline {NO}}={\overline {NH}}}$.[68][ِ 8]

رُباعَيَّاتٌ دَائريَّةٌ مُتنوِّعَةٌ. يَظهَرُ من أبرزها: المُستَطِيلُ والمُرَبَّعُ وشِبهُ المُنحَرِفِ مُتطابِقُ الساقينِ.

الرباعي الدائري هو مُضلع رباعي تُوجَدُ دائرةٌ تمرُّ بجميعِ رؤوسِه.[ملاحظة 27] الشروط المذكورة للرباعي الدائري هي شروط مُتكافئة، أي أنَّ تَحقُّقَ أحد الشروط يُؤدي إلى تحقُّقِ بقيةِ الشروط. تُعرَف أيضاً الشروط على أنها شروطٌ كافية وضرورية أي أنَّ تحقُّقَ عكسِ الشرط المذكور يُؤدّي إلى أن يكونَ الرباعيُّ دائرياً. يُعدُّ الشكلُ الرُّباعيُّ دائريَّاً إذا وفقط إذا:[ِ 3][77]

• تقاطعت مُنصَِفاتُ أضلاعِه العموديةِ في نُقطَةٍ واحدةٍ.
• وُجِدَت زاويتان مُتقابلتان فيه مُتكاملتان.
• وُجِدَت زاويتان متساويتان رأسهما إحدى رأسي الرُّباعي على جهةٍ واحدةٍ من قاعدته. (رياضيّاً: ${\displaystyle \angle CAD=\angle CBD}$)
• انطبقَ عليه عكسُ مبرهنة بطليموس.
• انطبقت عليه عكس مبرهنة قوة النقطة.

جميعُ المربعات، المستطيلات، أشباه المنحرف متطابقة الساقين وأضداد متوازي الأضلاع رباعيات دائرية. بينما الطائرة الورقية تُعدُّ دائريةً إذا وفقط إذا احتوت على زاويتين قائمتين. والرباعي التوافقي هو دائري يكون فيه حاصل ضرب أطوال أضلاعه المتقابلة متساوٍ.[78][ِ 8]

بحسب صيغة مساحة براهماغوبتا، تُحسَب مساحة الرباعي الدائري الذي أطوال أضلاعه: ${\displaystyle a,b,c,d}$ ونصف محيطه ${\displaystyle s}$ حيث ${\displaystyle S={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ بالصيغة الآتية:[ِ 8][79]

$${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$$

في القرن الخامس عشر الميلادي، استنتج العالم الهندي ڤاتاسِّيري پاراميشڤارا صيغة إيجاد نِصفِ قُطرِ الدَّائرةِ المُحِيطَةِ بدلالةِ أطوالِ الأضلاعِ ونصف المحيط:[79][ِ 8]

$${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}$$

شبه منحرف مماسي.

المُضلَّع المماسي هو مضلع تُوجد دائرة ما تمس جميع أضلاعه. تُسمَّى هذه الدَّائرة: الدَّائرةَ الدَّاخليَّةَ للمضلَّع. الرُّباعي المُحيط بدائرة يختص بأن كل مجموع طولي كل ضلعين متقابلين منه متساوٍ. فإذا كان الرباعي المُحيط دائرياً أيضاً سُميَّ رباعيّاً ثُنائيَّ المركزِ.و يُختص الرباعي ثنائي المركز (بالإنجليزية: Bicentric quadrilateral)‏ على أنه رباعي مماسي ودائري ومن خواصه أنَّ مجموعَ أطوالِ أضلاعِه المتقابلةِ مُتساوٍ. بينما الرباعي ثنائي المركز الخارجي (بالإنجليزية: Ex-bicentric quadrilateral)‏ هو رباعي مماسي خارجي ودائري في الوقت نفسه.[78][80][ِ 8]

يحتوي المضلع المحدب على دائرةٍ داخليةٍ إذا وفقط إذا التقت جميع منصفات زواياه في نقطة وحيدة. تُعرف هذه النقطة على أنها مركز دائرته الداخلية. أما إذا كانت أضلاع مضلع ذو ${\displaystyle n}$ رأس هي ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ ومساحته ${\displaystyle K}$ ونصف محيطه ${\displaystyle s}$ فإنَّ نصف قطر دائرته الداخلية يُحسب بالصيغة:[81]

$${\displaystyle r={\frac {K}{s}}={\frac {2K}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}}$$

مبرهنة بطليموس هي مبرهنة تربط بين أضلاع الرباعي الدائري وقطريه. سميت هذه المبرهنة نسبةً لعالم الفلك والرياضيات الإغريقي بطليموس. وتنص على أنَّ مجموع جداء كُلٌّ من ضلعي رباعي متقابلين مُساوٍ لجداء قُطرَيْه إذا وفقط إذا كان الرباعيُّ دائريّاً. يُعبَّرُ عن العلاقةِ السابقة رياضياً كالآتي: ${\displaystyle {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}}$. كما أنَّ عكسَ المبرهنةِ صحيحٌ أيضاً.[82][83][ِ 8]

يظهر مستقيم أويلر (بالأحمر) مارّاً بملتقى الارتفاعات (بالأزرق)، ومركز الدائرة المحيطة (بالأخضر)، وملتقى متوسطات المثلث (بالبرتقالي) ومركز دائرة النقاط التسع (بالأحمر).

خط أويلر، نسبةً إلى ليونهارد أويلر، هو مُستقيمٌ مُعرّفٌ لكلِّ مثلثِ مختلف الأضلاع. يمرُّ بعدّة مراكز بارزة للمثلث. حيث يمر من عدة نقاط هامة محددة في المثلث. برهن أويلر في عام 1767م أن أربعة من مراكز المثلث تتسامت، وهي: ملتقى الارتفاعات ${\displaystyle H}$، ملتقى المتوسطات ${\displaystyle G}$، مركزَي الدائرتين المحيطية ودائرة النقاط التسع ${\displaystyle O,N}$. تنطبق هذه النقاط عند كَوْنِ المثلث متطابقَ الأضلاعِ. يمكن رسم مستقيم أويلر بإيجاد أي نقطتين من النقاط الأربعة والوصل بينهما.[84]

خط سيمسون (بالإنجليزية: Simson line)‏ هو مستقيمٌ يمُرّ بمساقط نقطةٍ مشتركةٍ مع مثلثٍ في دائرته المحيطة على أضلاعه. رياضياً: إذا كان ${\displaystyle \triangle ABC}$ مثلثاً ذو دائرةٍ محيطةٍ ${\displaystyle \Omega }$ والنّقطةُ ${\displaystyle P}$ واقعةٌ عليها ومساقطها على مستقيمات المثلث ${\displaystyle CA,AB,BC}$ هي ${\displaystyle L,M,N}$ على الترتيب، فإنّ النقاط ${\displaystyle L,M,N}$ هي نقاطٌ متسامتةٌ ويُسمّى خطّها خط سيمسون. كما أنَّ عكسَ المبرهنة صحيحٌ أيضاً؛ إذا تسامتت مساقطُ نقطةٍ على أضلاع مثلث، فلا بدَّ أنَّ تقع هذه النقطة على دائرة المثلث المحيطة. بالإمكان التعبير عن ذلك أيضاً بأنَّ نقطةً ينعدمُ عندها مثلث المساقط إذا وفقط إذا وقعت على دائرته المحيطة.[85][86][87]