مساحة القرص

دائرة ومربع وثماني أضلاع. الدائرة محيطة بهما مبينة الفرق في المساحة باللون الأصفر.

انظر إلى دائرة محيطة.

${\displaystyle {\begin{aligned}E&{}=C-T\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>C-E\\P_{n}&{}>T\end{aligned}}}$

دائرة ومربع وثماني أضلاع. الدائرة محاطة بهما مبينة الفرق في المساحة باللون الأصفر.

${\displaystyle {\begin{aligned}D&{}=T-C\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{n}&{}<T\end{aligned}}}$

مساحة القرص بواسطة تكامل الحلقات

انظر بصل.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Area} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=\left[(2\pi ){\frac {t^{2}}{2}}\right]_{t=0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{aligned}}}$

نشرت الدائرة من أجل تكوين مثلث.

الصيغة المستعملة من أجل حساب مساحة المثلث.

${\displaystyle {\begin{aligned}Area&{}={\frac {1}{2}}*base*height\\&{}={\frac {1}{2}}*2\pi r*r\\&{}=\pi r^{2}\end{aligned}}}$

نصف دائرة شعاعها r

باستعمال تعريف التكامل ذاته، يمكن أن يُستنتج أن مساحة نصف الدائرة تساوي

${\displaystyle \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx}$

باستعمال تعويض مثلثي يتمثل في وضع ${\displaystyle x=r\sin \theta }$، نجد أن ${\displaystyle dx=r\cos \theta \,d\theta .}$

${\displaystyle =\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {r^{2}(1-\sin ^{2}\theta )}}\cdot r\cos \theta \,d\theta }$

${\displaystyle =2r^{2}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}\theta \,d\theta }$

${\displaystyle ={\frac {\pi r^{2}}{2}}.}$