إثبات أن 22/7 أكبر من π

نعتبر التكامل: ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx}$
بما أن الدالة داخل التكامل قيمها موجبة بين 0 و 1، فالتكامل أكبر قطعا من 0. قيمة هذا التكامل هي كالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx\quad {\text{(expansion of terms in the numerator)}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx\\&{}\qquad {\text{(polynomial long division)}}\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}\quad {\text{(definite integration)}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \quad ({\text{since }}\arctan(1)=\pi /4{\text{ and }}\arctan(0)=0)\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi >0.\quad {\text{(addition)}}\end{aligned}}}$

• بوابة رياضيات
• بوابة تحليل رياضي