صيغة هيرو

في الهندسة الرياضية، تستخدم صيغة هيرو لحساب مساحة مثلث أطوال أضلاعه a و b و c بالعلاقة:

مثلث له أضلاع a, b وc

حيث s هو نصف طول محيط المثلث:

ومن الممكن كتابة صيغة هيرو على الأشكال التالية:

تعميم الصيغة لشكل الرباعي

شكل رباعي غير منتظم

يمكن تعميم صيغة هيرو لحساب مساحة الشكل الرباعي بدلالة أطوال أضلاعه الأربعة وطول أحد قطريه وذلك بجمع مساحة مثلثين. لو افترضنا أن أضلاع الشكل الرباعي هي A،B،C،D وأن أحد قطريه هو E فإن مساحته تعطى بالعلاقة:

صيغة جيوشاو

تعزى الصيغة السابقة إلى هيرو السكندري، ويمكن الحصول على برهانها في كتابه (ميتريكا) الذي كتبه حوالى 60 بعد الميلاد.[1]

توجد صيغة أخرى مكافئة لصيغة هيرو:

اكتشفت هذه الصيغة من قبل الصينيين بشكل مستقل عن الإغريق ونشرها قين جيوشاو في 1247 ميلادية.

برهان صيغة هيرو

البرهان بستعمال الحساب المثلثي

فيما يلي برهان لصيغة هيرو باستخدام الجبر، وهو يختلف عن البرهان الذي قدمه هيرو في كتابه "متريكا": لتكن a، b، c هي أضلاع المثلث، ولتكن A، B، C زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا: من قانون جيوب التمام. نحصل على:

ارتفاع المثلث على القاعدة a طوله (b sin(C,وبالتالي:

تم تحليل الفرق بين المربعين في مرحلتين مختلفتين.

البرهان بستعمال التحليل البعدي

انظر إلى تحليل بعدي.

بما أن مساحة متعدد أضلاع ما بما في ذلك مثلث، هي كمية من البعد الثاني، فإن مربعها كمية من البعد الرابع. أضف إلى ذلك أن مساحة المثلث تنعدم كلما استقامت رؤوس هذا المثلث. ينتج عن هذا أن مربع مساحة مثلث تكتب كما يلي:

.

وبما أن مربع مساحة مثلث هو كمية من البعد الرابع، فإن k لا يمكن له إلا أن يكون كمية من البعد الأول. هذا المربع هو متعددة حدود تماثلية.

حيث C قيمة ثابتة ينبغي تحديده

.

لايجاد قيمة C، اعتبر مثلثا قائم الزاوية وفي نفس الوقت متساوي الساقين

برهان صيغة جيوشاو

إذا كان لدينا: a، b، c هي أضلاع المثلث، ولتكن A، B، C زواياه المقابلة لأضلاعه. يصبح لدينا:

المصادر

    • بوابة رياضيات
    • بوابة هندسة رياضية
    This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.