ارتفاع (مثلث)

إذا كان الارتفاع h يقسم الوتر في المثلث ABC القائم في C إلى p و g فإن طول الارتفاع يعطى بالقانون:

${\displaystyle h^{2}=pg}$

البرهان: إذا كان المثلث ABC قائم في C و CH ارتفاع قدمه H فإن المثلثان HBC و HCA متشابهان و من التشابه ينتج:

${\displaystyle {\frac {CH}{HB}}={\frac {HA}{CH}}}$

h ارتفاع في مثلث قائم الزاوية

${\displaystyle \Rightarrow CH^{2}=HB.HA}$

و هو المطلوب.

إذا كانت a,b,c أطوال أضلاع المثلث ABC القائم في C فإن الارتفاع الساقط على AB يعطى بالقانون:

${\displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$

البرهان:

إذا كان المثلث ABC قائم في C و CH ارتفاع قدمه H فإن:

AC ارتفاع ${\displaystyle \Leftarrow }$ مساحة المثلث = ½ BC × AC

كذلك CH ارتفاع ${\displaystyle \Leftarrow }$ مساحة المثلث = ½ AB × CH

${\displaystyle \Rightarrow AC.BC=AB.CH\Rightarrow CH={\frac {AC.BC}{AB}}}$

و هو المطلوب.

إذا كان a طول ضلع المثلث المتطابق الأضلاع فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

${\displaystyle h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$

البرهان:

ِِإذا كان ABC مثلث متطابق الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص الارتفاع السابق ذكرها ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

${\displaystyle a^{2}=AH^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow AH^{2}={\frac {3{a}^{2}}{4}}}$

${\displaystyle \Rightarrow AH={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}}$

و هو المطلوب.