قوانين مساحة المثلث

المثلث ABC.

يربط بين مساحة المثلث وبين جيب إحدى زواياه.

${\displaystyle {\underline {Area_{ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin {C}}}}$

البرهان:

في المثلث ABC: القطعة المستقيمة AN ارتفاع و a,b,c أطوال أضلاع المثلث.

المثلث ANC مثلث قائم في N:

${\displaystyle \Rightarrow Sin{C}={\frac {AN}{b}}}$

(جيب الزاوية يساوي المقابل على الوتر في المثلث القائم)

${\displaystyle \Rightarrow AN=b\sin {C}}$

${\displaystyle Area_{ABC}={\frac {1}{2}}a.AN={\frac {1}{2}}ab\sin {C}}$

دائرة محيطة بالمثلث

يوضح علاقة مساحة المثلث بنصف قطر الدائرة المحيطة به R.

${\displaystyle {\underline {Area_{ABC}={\frac {abc}{4R}}}}}$

البرهان:

باستخدام قانون الجيوب:

${\displaystyle {\frac {c}{\sin {C}}}=2R}$

${\displaystyle \Rightarrow sin{C}={\frac {c}{2R}}}$

${\displaystyle Area_{ABC}={\frac {1}{2}}ab\sin {C}={\frac {abc}{4R}}}$

دائرة داخلية في المثلث ABC

يربط بين مساحة المثلث و نصف قطر الدائرة الداخلية r و نصف المحيط s.

${\displaystyle {\underline {Area_{ABC}=rs}}}$

البرهان:

P مركز الدائرة الداخلية للمثلث

${\displaystyle Area_{ABC}=Area_{BPC}+Area_{APC}+Area_{APB}}$

باستخدام "المساحة = ½ القاعدة × الارتفاع" ثلاث مرات:

${\displaystyle Area_{ABC}={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr}$

${\displaystyle \Rightarrow Area_{ABC}=r{\frac {a+b+c}{2}}=rs}$

يعرف بصيغة هيرو:

باعتبار أن a,b,c اطوال اضلاع المثلث قيم معلومة، فإن مساحة المثلث هي:

${\displaystyle {\underline {Area_{ABC}={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}}}$

حيث أن s نصف محيط المثلث.

يعرف بصيغة جيوشاو:

${\displaystyle {\underline {Area_{ABC}={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}}}}$

مساحة المثلث القائم بدلالة طول الوتر والمحيط تُعطى بالعلاقة : المساحة = ( 1 / 4 ) [ (المحيط)^2 - 2 × المحيط × طول الوتر ]