قائمة المطابقات المثلثية
في الرياضيات، المتطابقات المثلثية أو المطابقات المثلثية أو المعادلات المثلثية هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).
حساب المثلثات |
---|
مراجع |
القوانين والنظريات |
الحسبان |
هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون احدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.[1]
ملاحظات
- لتجنب الالتباس حول (sin−1(x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (csc(x ومثيلاتها للمقاليب و(arcsin(x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.
الدالة | الدالة العكسية | المقلوب | معكوس المقلوب | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
جيب الزاوية | sin | قوس جيب الزاوية | arcsin | قاطع تمام الزاوية | csc | قوس قاطع تمام الزاوية | arccsc |
جيب تمام الزاوية | cos | قوس جيب تمام الزاوية | arccos | قاطع الزاوية | sec | قوس قاطع الزاوية | arcsec |
ظل الزاوية | tan | قوس ظل الزاوية | arctan | ظل تمام الزاوية | cot | قوس ظل تمام الزاوية | arccot |
الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها
الدرجات | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 180 | 270 | 360 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
الراديان | ||||||||
غراد | 33 ⅓ | 50 | 66 ⅔ | 100 | 133 ⅓ | 200 | 300 | 400 |
علاقات أساسية
متطابقة فيثاغورس المثلثية | |
---|---|
متطابقة النسبة |
الدالة | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
التطابق، الإزاحة، والدورية
من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..
التطابق
تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.
انعكاس في | انعكاس في (متطابقة مساعدة) |
انعكاس في |
---|---|---|
الإزاحة والدورية
θ مزاحة بمقدار π/2 | θ مزاحة بمقدار π | θ مزاحة بمقدار 2π |
---|---|---|
متطابقات مجموع وفرق الزوايا
الجيب | |
---|---|
جيب التمام | |
الظل | |
قوس الجيب | |
قوس جيب التمام | |
قوس الظل |
شكل المصفوفة
جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية
ظلال مجاميع حدود محدودة
مثال:
وهكذا
قواطع مجاميع حدود محدودة
مثلا,
صيغ الزوايا المتعددة
Tn هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة n | |
---|---|
صيغة دي موافر، هي وحدة تخيلية |
صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا
أنظر أيضا: صيغة فايرشتراس [الإنجليزية]
صيغ ضعف زاوية
صيغ ثلاثة أضعاف زاوية
جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة
ظل المتوسط
صيغ اختصار الأس
جيب | جيب التمام | أخرى |
---|---|---|
جيب التمام | جيب | |
---|---|---|
إذا كان n فردي | ||
إذا كان n زوجي | ||
متطابقات التحويل من المجموع إلى الجداء والجداء إلى المجموع
|
|
متطابقات أخرى ذات صلة
- إذا كانت تساوي نصف دائرة، فإن:
- و
مركبات خطية
حيث:
أو:
حيث:
و:
مجاميع أخرى للدوال المثلثية
تحويلات كسرية خطية معينة
وبالمثل:
وعليه:
الدوال المثلثية العكسية
مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها
صيغ الجداء اللانهائي
|
|
المتطابقات الخالية من المتغيرات
حساب π
بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة
التفاضل والتكامل
في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:
محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:
محققة باستخدام هذه المتطابقة tan x2 = 1 − cos xsin x. بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن (sin x)′ = cos x و (cos x)′ = −sin x. إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.
يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:
يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:
تعاريف أسية
الدالة | الدالة المعكوسة |
---|---|
متفرقات
نواة ديراك
تعويض بظل نصف الزاوية
إذا وضعنا :
انظر أيضًا
مراجع
- ملخصات ايزي شوم
- Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
- إيريك ويستاين، Half-Angle Formulas، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
- بوابة رياضيات