مشتق (رياضيات)

العدد المُشتَقّ في نقطة، على رسم بياني لدالة ذات متغيرات وقيم حقيقية، هو معامل المماس الموجِّهُ.[1][2][3] يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية. وتعرف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى (f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة. نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية. ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :

لمعانٍ أخرى، انظر مشتق (توضيح).

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

عندما Δx تقارب 0.

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

${\frac {dy}{dx}}$

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

المنحنى معبر بالأسود، والمستقيم المماس له معبر بالأحمر، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، تسمى بالعدد المشتق

التاريخ

يعود تاريخ الحساب متناهي الصغر بشكل عام إلى العصور القديمة، ويرتبط بالرياضيين إسحاق نيوتن وغوتفريد لايبنتس،[4] حيث اكتشفاه في القرن السابع عشر. ومع ذلك نجد أن هذا النوع من الحساب بدأه علماء رياضيات سابقين: أرخميدس وبيير دي فيرما، وخاصة إسحاق بارو.[5]

رمز الاشتقاق

مشتقة الدالة

f(x)=x\cdot \sin(x^{2})+1

عند كل نقطة, هو ميل المماس لمنحنى تلك الدالة, الخط دائما مماس للمنحنى الأزرق, وميله يمثل المشتقة. لاحظ تكون المشتقة موجبة عندما يظهر الخط باللون الأخضر, وسالبة عندما يظهر باللون الأحمر , وصفر عندما يظهر الخط باللون الأسود.

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، منها ما يلي :

صيغة لايبنتز

مقالة مفصلة: ترميز لايبنز

{\frac {{\mathrm {d} }f}{{\mathrm {d} }x}}

،والتي تكافئ الصيغة

{\frac {{\mathrm {d} }\left(f(x)\right)}{{\mathrm {d} }x}}

و تُقرأ ((dfdx)) أو ((مشتقة f بدلالة x)) ، أما d(f(x))/dx فتُقرأ ((ddx للدالة f عند x)) أو ((مشتقة f عند x))

dy/dx

و تُقرأ ((dydx)) أو ((مشتقة y بدلالة x))

صيغة لاغرانج

واحدة من الترميزات الأكثر استعمالا في الرياضيات المعاصرة تعود إلى عالم الرياضيات الفرنسي جوزيف لويس لاغرانج.

f'\left(x\right)

أو y'، و تُقرأ الأخيرة مشتقة y.

صيغة إسحاق نيوتن

{\dot {f}}(x)

أو

{\dot {y}}

،تستعمل خاصة في الفيزياء.

صيغة ليونهارد أويلر

D_{x}f(x)\;

قواعد حساب الدالة المشتقة

مقالة مفصلة: قواعد الاشتقاق

الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر. التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة $f(x)=\,$	المشتقة $f'(x)=\,$	شرط الاشتقاق
$a\,\!$	$0\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$ax\,\!$	$a\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$1 \over x\,\!$	$-{1 \over x^{2}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
${\sqrt {x}}\,\!$	${1 \over 2{\sqrt {x}}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{+}\bigcap \mathbb {R} ^{*}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {N} ^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$ax^{n}\,\!$	$anx^{n-1}\,\!$	$n\,\in \mathbb {Z} \setminus \mathbb {N} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$ax^{c}\,\!$	$acx^{c-1}\,\!$	$c\,\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \quad x\,\in \mathbb {R} ^{*}\bigcap \mathbb {R} ^{+}$
$\cos(x)\,\!$	$-\sin(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\sin(x)\,\!$	$\cos(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\tan(x)\,\!$	$1 \over \cos ^{2}(x)$ أو $1+\tan ^{2}(x)\,\!$	$x\neq {\pi \over 2}+k\pi$ , $k\in \mathbb {Z}$
$\arccos(x)\,\!$	$-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\arcsin(x)\,\!$	${1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!$	$x\,\in \ ]-1;1[$
$\sinh(x)\,\!$	$\cosh(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\cosh(x)\,\!$	$\sinh(x)\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$\arctan(x)\,\!$	${1 \over 1+x^{2}}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$
$a^{x}\,\!$	$a^{x}\ln a\,\!$	$a\,\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad x\,\in \mathbb {R}$
$\ln \|x\|\,\!$	$1 \over x\,\!$	$x\,\in \mathbb {R} ^{*}$
$\exp {x}\,\!$	$\exp {x}\,\!$	$x\,\in \mathbb {R}$

انظر أيضًا

أمثلة على الاشتقاق

مراجع

Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. صفحات 63. ISBN 0-8218-0772-2. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
"The Notation of Differentiation". MIT. 1998. مؤرشف من الأصل في 05 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 24 أكتوبر 2012. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); تحقق من التاريخ في: |تاريخ أرشيف= (مساعدة)
Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. صفحات 1. ISBN 0-486-66721-9. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
Bos, H. J. M. (1974-03-01). "Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus". Archive for History of Exact Sciences (باللغة الإنجليزية). 14 (1): 1–90. doi:10.1007/BF00327456. ISSN 1432-0657. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
Émerand (1860). Biographie de Tarn-et-Garonne: études historiques et bibliographiques ... (باللغة الفرنسية). Forestié neveu. مؤرشف من الأصل في 14 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي

مشتق في المشاريع الشقيقة

كتب من ويكي الكتب
دروس من ويكي الجامعة.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Evans, Lawrence (1999). Partial Differential Equations. American Mathematical Society. صفحات 63. ISBN 0-8218-0772-2. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[2] "The Notation of Differentiation". MIT. 1998. مؤرشف من الأصل في 05 ديسمبر 2017. اطلع عليه بتاريخ 24 أكتوبر 2012. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); تحقق من التاريخ في: |تاريخ أرشيف= (مساعدة)

[3] Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. New York: Dover. صفحات 1. ISBN 0-486-66721-9. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[4] Bos, H. J. M. (1974-03-01). "Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus". Archive for History of Exact Sciences (باللغة الإنجليزية). 14 (1): 1–90. doi:10.1007/BF00327456. ISSN 1432-0657. مؤرشف من الأصل في 13 مارس 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[5] Émerand (1860). Biographie de Tarn-et-Garonne: études historiques et bibliographiques ... (باللغة الفرنسية). Forestié neveu. مؤرشف من الأصل في 14 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)