مبرهنة التباعد

في تحليل المتجهات، تحقق مبرهنة التباعد (وتسمى أيضًا مبرهنة غاوس أو مبرهنة أوستروغرادسكي) المساواة بين تكامل التباعد في حقل متجهي على حجم في $\mathbb {R} ^{3}$ وتدفق هذا الحقل عبر حدود الحجم (وهو التكامل السطحي).[1][2][3]

المساواة هي على النحو التالي: $\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}\,{\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}{\overrightarrow {F}}\cdot \mathrm {d} {\overrightarrow {S}}$

حيث :

${\mathcal {V}}\,$ هو الحجم
$\partial {\mathcal {V}}\,$ هي حدود ${\mathcal {V}}$
${\rm {d}}{\overrightarrow {S}}$ هو المتجه الطبيعي على السطح، الموجه للخارج والقاعدة مساوٍ للعنصر السطحي الذي يمثله
${\overrightarrow {F}}$ هو حقل متجهي قابل للاشتقاق باستمرار في أي نقطة من ${\mathcal {V}}$ .
${\overrightarrow {\nabla }}$ هو المؤثر نابلا ؛ ${\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}=\mathrm {div} \ {\overrightarrow {F}}$

هذه المبرهنة تتبع مبرهنة ستوكس التي في حد ذاتها، تعمم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل .

التفسير الفيزيائي

هي نتيجة مهمة في الفيزياء الرياضية، خاصة في الكهرباء الساكنة وديناميات الموائع ، حيث تعكس هذه المبرهنة قانون الحفظ . وفقًا لإشارته، يعبر الاختلاف عن تشتت أو تركيز مقدار (مثل الكتلة على سبيل المثال) وتشير المبرهنة السابقة إلى أن التشتت داخل الحجم يكون بالضرورة مصحوبًا بتدفق إجمالي مكافئ يغادر حدوده.

تسمح هذه المبرهنة بشكل خاص لايجاد نسخة تكاملية لمبرهنة غاوس في الكهرومغناطيسية من معادلة ماكسويل-غاوس:

\mathrm {div} \ {\overrightarrow {E}}\ =\ {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.

علاقات أخرى

هذه المبرهنة تجعل من الممكن استنتاج صيغ معينة مفيدة من الحساب المتجهي. في التعبيرات أدناه:

{\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}=\mathrm {div} \,{\overrightarrow {F}},\,{\overrightarrow {\nabla }}g={\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\,g\,,{\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {F}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\,{\overrightarrow {F}}\,

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}\left({\overrightarrow {F}}\cdot {\overrightarrow {\nabla }}g+g\left({\overrightarrow {\nabla }}\cdot {\overrightarrow {F}}\right)\right){\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}g{\overrightarrow {F}}\cdot {\rm {d}}{\overrightarrow {S}},

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}{\overrightarrow {\nabla }}g\,{\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}g{\rm {d}}{\overrightarrow {S}},

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}\left({\overrightarrow {G}}\cdot \left({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {F}}\right)-{\overrightarrow {F}}\cdot \left({\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {G}}\right)\right){\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}\left({\overrightarrow {F}}\wedge {\overrightarrow {G}}\right)\cdot {\rm {d}}{\overrightarrow {S}},

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}{\overrightarrow {\nabla }}\wedge {\overrightarrow {F}}{\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}{\rm {d}}{\overrightarrow {S}}\wedge {\overrightarrow {F}},

\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{\mathcal {V}}\left(f{\overrightarrow {\nabla }}^{2}g+{\overrightarrow {\nabla }}f\cdot {\overrightarrow {\nabla }}g\right){\rm {d}}V=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial {\mathcal {V}}}f{\overrightarrow {\nabla }}g\cdot {\rm {d}}{\overrightarrow {S}}.

على وجه الخصوص، تستخدم هذه الصيغ للحصول على صياغات ضعيفة مرتبطة بمشاكل المشتقات الجزئية .

مراجع

"معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع psh.techlib.cz". psh.techlib.cz. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
"معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع academic.microsoft.com". academic.microsoft.com. مؤرشف من الأصل في 28 أكتوبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
"معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 12 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

مبرهنة التباعد في المشاريع الشقيقة

صور وملفات صوتية من كومنز

بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] "معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع psh.techlib.cz". psh.techlib.cz. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[2] "معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع academic.microsoft.com". academic.microsoft.com. مؤرشف من الأصل في 28 أكتوبر 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[3] "معلومات عن مبرهنة التباعد على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 12 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

مبرهنة التباعد

التفسير الفيزيائي

علاقات أخرى

مقالات ذات صلة

مراجع