مصفوفة جاكوبية ومحددة جاكوبية

لتكن الدالة f : ℝ² → ℝ² المعرفة كما يلي

${\displaystyle \mathbf {f} (x,y)={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}$

إذن

${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}$

و

${\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}$

والمصفوفة الجاكوبية ل F هي

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}$

أما المحددة الجاكوبية فهي

${\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}$

التحويل من نظام إحداثي قطبي (r, φ) إلى نظام إحداثي ديكارتي (x, y), توفره الدالة التالية F: ℝ⁺ × [0, 2π) → ℝ² حيث:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi$ ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}$

المحددة الجاكوبية تساوي r. هذا التساوي يستعمل من أجل تحويل التكاملات من نظام إحداثيات إلى آخر:

${\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$