قاعدة لايبنتز للتكامل

قاعدة لايبنتز للتكامل هي قاعدة رياضياتية في حساب التفاضل والتكامل سميت تيمنا بغوتفريد لايبنتز، والتي تقول أن كل تكامل على شاكلة:

$\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,$

حيث أن $-\infty <a(x),b(x)<\infty$ مشتقته بالشكل التالي:

{\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt,

حيث آن المشتق الجزئي يدل على أن ما داخل التكامل يمكن الأخذ به عندما يكون المتغير f(x, t) x يعتبر في اتخاذ مشتق.[1] لاحظ أنه إذا $a(x)$ و $b(x)$ هي الثوابت بدلا من وظائف من لدينا حالة خاصة من قاعدة ليبنيتز:

${\frac {d}{dx}}\left(\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\right)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.$

حالة الأبعاد الثلاثة التي تعتمد على الزمن

الشكل 1: حقل متجه F(r, t) محددة في جميع أنحاء الفضاء, سطح Σ يحدها منحنى ∂Σ تتحرك مع سرعة v على حقل دمج.

ان قاعدة لايبنتز للأبعاد الثنائية هي:[2]

{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,

حيث أن:

F(r, t) هو حقل متجه في موقف المكاني r في الوقت t,

Σ هو سطح متنقل في مساحة ثلاثية يحدها منحنى مغلق ∂Σ ،

dA هو متجه عنصر من سطح Σ،

ds هو متجه عنصر من منحنى ∂Σ،

v هي سرعة الحركة من المنطقة Σ،

∇⋅ هو متجه الاختلاف،

× هو متجه عبر المنتج،

إن ضعف التكامل هي التكاملات السطحية على سطح Σ و خط متكامل على إحاطة منحنى ∂Σ.

الأبعاد العليا

يمكن تمديد قانون ليبنيز ليشمل تكاملات في أبعاد متعددة. تسمى في حالة البعدين والثلاثة بمجال ديناميات السوائل كما في نظرية رينولدز للنقل:

${\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F({\vec {\textbf {x}}},t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F({\vec {\textbf {x}}},t){\vec {\textbf {v}}}_{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,$

انظر أيضا

المراجع

Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Differentiation under the Integral Sign". Intermediate Calculus (الطبعة Second). Springer. صفحات 421–426. ISBN 0-387-96058-9. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
Flanders, Harly (June–July 1973). "Differentiation under the integral sign" (PDF). الرياضيات الأمريكية الشهرية. 80 (6): 615–627. doi:10.2307/2319163. JSTOR 2319163. مؤرشف من الأصل (PDF) في 20 سبتمبر 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

مزيد من القراءة

Frederick S. Woods (1934). Advanced Calculus (الطبعة New). Ginn and Company. ASIN B0006AMNBI. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
Frederick S. Woods (1926). Advanced Calculus (الطبعة 1st). Ginn and Company. ASIN B00085L67S. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
David V. Widder (Jul 1990). Advanced Calculus (الطبعة New). Dover Publications Inc. ISBN 978-0-486-66103-2. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

بوابة تحليل رياضي
بوابة رياضيات

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Differentiation under the Integral Sign". Intermediate Calculus (الطبعة Second). Springer. صفحات 421–426. ISBN 0-387-96058-9. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[Flanders-2] Flanders, Harly (June–July 1973). "Differentiation under the integral sign" (PDF). الرياضيات الأمريكية الشهرية. 80 (6): 615–627. doi:10.2307/2319163. JSTOR 2319163. مؤرشف من الأصل (PDF) في 20 سبتمبر 2018. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)