قائمة التكاملات

هذه قائمة بتكاملات لمختلف الدوال في الرياضيات.[1][2]

قواعد مكاملة الدوال العامة

\int af(x)\,dx=a\int f(x)\,dx

\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(d[f(x)]\int g(x)\,dx\right)\,dx

\int af(y)\,dy=a\int f(y)\,dy

\int [f(y)+g(y)]\,dy=\int f(y)\,dy+\int g(y)\,dy

\int f(y)g(y)\,dy=f(y)\int g(y)\,dy-\int \left(d[f(y)]\int g(y)\,dy\right)\,dy

تكاملات الدوال البسيطة

قائمة تكاملات الدوال غير النسبية

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال غير النسبية

\int {du \over {\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\arcsin {u \over a}+C

\int {-du \over {\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\arccos {u \over a}+C

\int {du \over u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}{\mbox{arcsec}}\,{|u| \over a}+C

اللوغاريتمات

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال اللوغارتمية

\int \ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C

\int \log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C

الدوال الأسية

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال الأسية

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C

الدوال المثلثية

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C

\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C

\int \tan {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C

\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C

\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C

\int \csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\cot {x}\right|}+C

\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C

\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C

\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C

\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C

\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C

\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C

\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx

\int \cos ^{n}x\,dx=-{\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx

\int \arctan {x}\,dx=x\,\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left|1+x^{2}\right|}+C

دوال القطع الزائد

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية

\int \sinh x\,dx=\cosh x+C

\int \cosh x\,dx=\sinh x+C

\int \tanh x\,dx=\ln |\cosh x|+C

\int {\mbox{csch}}\,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C

\int {\mbox{sech}}\,x\,dx=\arctan(\sinh x)+C

\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C

تكاملات محددة

\int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}

(أنظر أيضا دالة غاما)

\int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}

\int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

(أنظر أيضا عدد بيرنولي)

\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}

\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}

\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,e^{-x}\,dx=\Gamma (z)

(حيث

\Gamma (z)

هي دالة غاما.)

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}

انظر

مراجع

"معلومات عن قائمة التكاملات على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 27 يوليو 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
"معلومات عن قائمة التكاملات على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 22 يوليو 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.