قائمة تكاملات الدوال الزائدية

هذه قائمة تكاملات الدوال الزائدية.أخذا بالعلم أن $a$ عدد غير منعدم وأن $C$ هي ثابت التكامل.

يفتقر محتوى هذه المقالة إلى الاستشهاد بمصادر. فضلاً، ساهم في تطوير هذه المقالة من خلال إضافة مصادر موثوقة. أي معلومات غير موثقة يمكن التشكيك بها وإزالتها. (مارس 2016)

التكاملات التي تحتوي على دالة الجيب الزائدية

\int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C\,

\int \sinh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax-{\frac {x}{2}}+C\,

\int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{an}}\sinh ^{n-1}ax\cosh ax-{\frac {n-1}{n}}\int \sinh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,

\int \sinh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sinh ^{n+1}ax\cosh ax-{\frac {n+2}{n+1}}\int \sinh ^{n+2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}\,

\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tanh {\frac {ax}{2}}\right|+C\,

\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\sinh ax}}\right|+C\,

\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\sinh ax}{\cosh ax+1}}\right|+C\,

\int {\frac {dx}{\sinh ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {\cosh ax-1}{\cosh ax+1}}\right|+C\,

\int {\frac {dx}{\sinh ^{n}ax}}=-{\frac {\cosh ax}{a(n-1)\sinh ^{n-1}ax}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sinh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,

\int x\sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\cosh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\sinh ax+C\,

\int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C\,

\int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C\,

\int \sinh ax\sinh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}(a\sinh bx\cosh ax-b\cosh bx\sinh ax)+C\qquad {\mbox{(}}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}\,

التكاملات التي تحتوي على دالة جيب التمام الزائدية

\int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C\,

\int \cosh ^{2}ax\,dx={\frac {1}{4a}}\sinh 2ax+{\frac {x}{2}}+C\,

\int {\frac {dx}{\cosh ax}}={\frac {2}{a}}\arctan e^{ax}+C\,

\int \cosh ^{n}ax\,dx={\frac {1}{an}}\sinh ax\cosh ^{n-1}ax+{\frac {n-1}{n}}\int \cosh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,

\int \cosh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\sinh ax\cosh ^{n+1}ax-{\frac {n+2}{n+1}}\int \cosh ^{n+2}ax\,dx\qquad {\mbox{(}}n<0{\mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)}}\,

\int {\frac {dx}{\cosh ^{n}ax}}={\frac {\sinh ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cosh ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,

\int x\cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}x\sinh ax-{\frac {1}{a^{2}}}\cosh ax+C\,

\int x^{2}\cosh ax\,dx=-{\frac {2x\cosh ax}{a^{2}}}+\left({\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {2}{a^{3}}}\right)\sinh ax+C\,

\int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C\,

\int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C\,

\int \cosh ax\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}(a\sinh ax\cosh bx-b\sinh bx\cosh ax)+C\qquad {\mbox{(}}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}\,

التكاملات الأخرى

تكاملات دوال الظل، وظل التمام، والقاطع، وقاطع التمام الزائدية

\int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C

\int \tanh ^{2}ax\,dx=x-{\frac {\tanh ax}{a}}+C

\int \tanh ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\tanh ^{n-1}ax+\int \tanh ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0

\int \coth ^{n}ax\,dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\coth ^{n-1}ax+\int \coth ^{n-2}ax\,dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C

\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0

التكاملات التي تحتوي على دالتي الجيب وجيب التمام الزائدية

\int (\cosh ax)(\sinh bx)\,dx={\frac {1}{a^{2}-b^{2}}}{\big (}a(\sinh ax)(\sinh bx)-b(\cosh ax)(\cosh bx){\big )}+C\qquad {\mbox{(for }}a^{2}\neq b^{2}{\mbox{)}}

\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx={\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(n-m)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}

أيضًا:

\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx=-{\frac {\cosh ^{n+1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {\cosh ^{n}ax}{\sinh ^{m}ax}}dx=-{\frac {\cosh ^{n-1}ax}{a(m-1)\sinh ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cosh ^{n-2}ax}{\sinh ^{m-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx={\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(m-n)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-m}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}

\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx={\frac {\sinh ^{m+1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

\int {\frac {\sinh ^{m}ax}{\cosh ^{n}ax}}dx=-{\frac {\sinh ^{m-1}ax}{a(n-1)\cosh ^{n-1}ax}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\sinh ^{m-2}ax}{\cosh ^{n-2}ax}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}

التكاملات التي تحتوي على الدوال الزائدية والمثلثية

\int \sinh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+C

\int \sinh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)+C

\int \cosh(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\cos(cx+d)+C

\int \cosh(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\sinh(ax+b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\cosh(ax+b)\sin(cx+d)+C

طالع أيضًا

بوابة رياضيات
بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.