دالة غاما

الصيغة المعممة لدالة غاما على المستوى العقدي

عالم الرياضيات الفرنسي ليجاندر هو أول من استعمل الرمز (Γ(z. باستعمال التكامل بالتجزيء، يمكن أن نجد أن دالة غاما تحقق المعادلة التالية :

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z).}$

علما أن 1 = (Γ(z، نحصل على ما يلي:

${\displaystyle \Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\dots (n-1)=(n-1)!\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (t)&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{t}}{t\;(t+1)\cdots (t+n)}}={\frac {1}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{t}}{1+{\frac {t}{n}}}}\\\Gamma (t)&={\frac {e^{-\gamma t}}{t}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {t}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {t}{n}}\end{aligned}}}$

حيث ...γ ≈ 0.577216 هي ثابتة أويلر-ماسكيروني.

${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}},0<z<1}$

انظر إلى تكامل غاوسي.

${\displaystyle \ln \Gamma (x)=\left({\frac {1}{2}}-x\right)(\gamma +\ln 2)+(1-x)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin \pi x+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi nx\cdot \ln {n}}{n}}\,,\qquad 0<x<1,}$

فيما يلي بعض من القيم الخاصة لدالة غاما

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\Gamma (-1)&=(-2)!&&=\infty \\\Gamma (0)&=(-1)!&&=\infty \\\Gamma (1)&=0!&&=1\\\Gamma (2)&=1!&&=1\\\Gamma (3)&=2!&&=2\\\Gamma (4)&=3!&&=6\\\Gamma (-{\tfrac {3}{2}})&={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 2.363271801207\\\Gamma (-{\tfrac {1}{2}})&=-2{\sqrt {\pi }}&&\approx -3.544907701811\\\Gamma ({\tfrac {1}{2}})&={\sqrt {\pi }}&&\approx 1.772453850905\\\Gamma ({\tfrac {3}{2}})&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 0.88622692545\\\Gamma ({\tfrac {5}{2}})&={\tfrac {3}{4}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 1.32934038818\\\Gamma ({\tfrac {7}{2}})&={\tfrac {15}{8}}{\sqrt {\pi }}&&\approx 3.32335097045\end{alignedat}}}$

معضلة تمديد دالة العاملي إلى الأعداد غير الصحيحة درست لأول مرة من طرف كل من دانييل برنولي وكريستيان غولدباخ في عشرينات القرن الثامن عشر. إلا أنها حلحلت من طرف عالم الرياضيات ليونهارت أويلر. كان ذلك في نهاية ذلك العقد ذاته. أعطى أويلر تعريفين اثنين لدالة عاملي. الأول لم يكن تكامله ولكنه كان جداءا غير منته.

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$

والذي أخبر به غولدباخ في رسالة أرسلها إليه في الثالث عشر من أكتوبر عام 1729. كتب أويلر مجددا إلى غولدباخ في الثامن من يناير عام 1730 من إجل إخباره أن توصل إلى صيغة أخرى عل شكل تكامل تساوي دالة العاملي.

${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\ln s)^{n}\,ds\,,}$

انظر إلى جيمس ستيرلينغ وإلى صيغته صيغة ستيرلينغ وإلى جداء غير منته.

أول صفحة من مقال أويلر

أعاد كارل فريدريش غاوس كتابة صيغة أويلر كما يلي:

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$

انظر إلى كارل فايرشتراس وإلى أدريان ماري ليجاندر.