قائمة المتسلسلات الرياضياتية

هذه قائمة بالمتسلسلات الرياضياتية والتي تحتوي على صيغ بالتجميعات المنتهية واللامنتهية. ويمكن استخدامها مع غيرها من الأدوات التي تقوم بتقدير التجميعات evaluating sums.

تجميعات القوى

المعادلة
$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}\,\!$
$\sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}\,\!$
$\sum _{i=0}^{n}i^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!$ حيث أن $B_{k}$ هو عدد بيرنولي ذو العدد k.
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{-s}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)\,\!$ حيث أن $\zeta (s)$ هو دالة زيتا.

متسلسلات القوى

تجميع اللانهائيات (عندما يكون $\|x\|<1$ )	تجميع النهائيات
$\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}={\frac {1}{1-x}}\,\!$	$\sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}=1+{\frac {1}{r}}(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}),\mathrm {where} \ r>0\ \mathrm {and} \ x={\frac {1}{1+r}}.\,\!$
$\sum _{i=0}^{\infty }x^{2i}={\frac {1}{1-x^{2}}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }ix^{i}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}\,\!$	$\sum _{i=1}^{n}ix^{i}=x{\frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {nx^{n+1}}{1-x}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}}\,\!$	$\sum _{i=1}^{n}i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{3}x^{i}={\frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{4}x^{i}={\frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}}\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{k}x^{i}=\operatorname {Li} _{-k}(x),\,\!$ حيث أن Li_s(x) هو لوغاريتم متعدد للمتغير x.

قواسم بسيطة

المعادلة
$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i}}=-\ln \left({1-x}\right)\quad {\mbox{ for }}\|x\|\leq 1,\,x\not =1\,\!$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\arctan(x)\,\!$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{2i+1}}=\mathrm {arctanh} (x)\quad {\mbox{ for }}\|x\|<1\,\!$
$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\!$

قواسم عاملية

هي متسلسلة متعددة القوى نشأت من مبرهنة تايلور ويكون لديها معامل عاملي.

المعادلة
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }i{\frac {x^{i}}{i!}}=xe^{x}$ (شاهد توزيع بواسون)
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{2}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+x^{2})e^{x}$ (شاهد العزم الثاني لتوزيع بواسون)
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{3}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{4}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{(2i+1)!}}=\sinh x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i}}{(2i)!}}=\cosh x$

القواسم العاملية-المعدلة

المعادلة
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\arcsin x\quad {\mbox{ for }}\|x\|<1\!$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}(2i)!}{4^{i}(i!)^{2}(2i+1)}}x^{2i+1}=\mathrm {arcsinh} (x)\quad {\mbox{ for }}\|x\|<1\!$

متسلسلة ثنائية الحد

متسلسلة ثنائية الحد (و من ضمنها متسلسلة الجذر التربيعي عندما يكون $\alpha =1/2$ والمتسلسلة الهندسية اللانهائية عندما يكون $\alpha =-1$ ):

الجذر التربيعي:

${\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1\!$

المتسلسلة الهندسية:

$(1+x)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1$

الصيغة العامة:

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1{\mbox{ and all complex }}\alpha \!$

مع العوامل الثنائية الحد المعممة

{\alpha  \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}\!

[1] $\sum _{i=0}^{\infty }{i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}$
[1] $\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i+1}}{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{2x}}({\sqrt {1-4x}})$
[1] $\sum _{i=0}^{\infty }{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}$
[1] $\sum _{i=0}^{\infty }{2i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\right)^{n}$

عوامل ثنائية الحد

المعادلة
$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$
$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}$
$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n \choose i}=0$
$\sum _{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$
$\sum _{i=0}^{n}{k+i \choose i}={k+n+1 \choose n}$
$\sum _{i=0}^{r}{r \choose i}{s \choose n-i}={r+s \choose n}$

دوال مثلثية

إن تجميعات الجيوب والجيوب التمام مأخوذة من متسلسلة فوييه.

المعادلة
$\sum _{i=1}^{n}\sin \left({\frac {i\pi }{n}}\right)=0$
$\sum _{i=1}^{n}\cos \left({\frac {i\pi }{n}}\right)=0$

غير مصنفة

المعادلة
$\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b}{n^{2}-b^{2}}}=\sum _{n=1}^{2b}{\frac {1}{2n}}$

انظر أيضاً

ملاحظات

Theoretical computer science cheat sheet نسخة محفوظة 30 يوليو 2018 على موقع واي باك مشين.

المراجع

من نفس الكتب التي أُخذت منها قائمة التكاملات.

بوابة تحليل رياضي

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[ctcs-1] Theoretical computer science cheat sheet نسخة محفوظة 30 يوليو 2018 على موقع واي باك مشين.