توزيع بواسون

يعتبر توزيع بواسون شائعًا لنمذجة عدد المرات التي يقع فيها الحدث في فترة زمنية أو مساحة .

يُقال إن المتغير العشوائي X المنفصل له توزيع بواسون مع المعامل المتغير λ> 0 إذا كان لـ k = 0، 1، 2، ...، دالة الكتلة الاحتمالية لـ X تعطى بواسطة :[2]

${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$

عندما

• e هو رقم أويلر ( e = 2.71828. . . )
• k هو عدد مرات الحدوث
• ك ! هو مضروب k .

الرقم الحقيقي الموجب λ يساوي القيمة المتوقعة لـ X وأيضًا تباينها [3]

${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$

يمكن تطبيق توزيع بواسون على الأنظمة التي بها عدد كبير من الأحداث المحتملة، كل منها نادر الحدوث . عدد مثل هذه الأحداث التي تحدث خلال فترة زمنية محددة، في ظل الظروف المناسبة، هو رقم عشوائي مع توزيع بواسون.

يمكن تكييف المعادلة إذا، بدلاً من متوسط عدد الأحداث ${\displaystyle \lambda }$، نحصل على معدل زمني لعدد الأحداث ${\displaystyle r}$ يحدث. ثم ${\displaystyle \lambda =rt}$ (عرض ${\displaystyle r}$ عدد الأحداث لكل وحدة زمنية)، و

${\displaystyle P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}}$

مثال

قد يكون توزيع بواسون مفيدًا لنمذجة أحداث مثل

• عدد النيازك التي يزيد قطرها عن متر واحد والتي تضرب الأرض في السنة.
• عدد المرضى الذين يصلون إلى غرفة الطوارئ بين الساعة 10 و 11 مساءً.
• عدد فوتونات الليزر التي تصطدم بالكاشف في فترة زمنية معينة.

يعتبر توزيع بواسون نموذجًا مناسبًا إذا كانت الافتراضات التالية صحيحة: [4]

• k هو عدد المرات التي يقع فيها حدث ما في فترة ما ويمكن لـ k أن تأخذ القيم 0، 1، 2، ....
• لا يؤثر وقوع حدث واحد على احتمال وقوع حدث ثان. أي أن الأحداث تحدث بشكل مستقل.
• متوسط المعدل الذي تحدث به الأحداث مستقل عن أي تكرارات. من أجل التبسيط، يُفترض عادةً أن يكون هذا ثابتًا، ولكن قد يختلف عمليًا مع مرور الوقت.
• لا يمكن أن يحدث حدثان في نفس اللحظة بالضبط ؛ بدلاً من ذلك، في كل فترة فرعية صغيرة جدًا، يحدث حدث واحد بالضبط أو لا يحدث.

إذا كانت هذه الشروط صحيحة، فإن k هو متغير بواسون العشوائي، وتوزيع k هو توزيع بواسون.

توزيع بواسون هو أيضًا حد التوزيع ذي الحدين، حيث يساوي احتمال النجاح لكل تجربة λ مقسومًا على عدد التجارب، حيث يقترب عدد التجارب من اللانهاية (انظر التوزيعات ذات الصلة ).

مرة واحدة في الأحداث الفاصلة: حالة خاصة من λ = 1 و k = 0

لنفترض أن الفلكيين يقدرون أن النيازك الكبيرة (فوق حجم معين) ضربت الأرض في المتوسط مرة كل 100 سنة (λ = 1 حالة لكل 100 سنة)، وأن عدد الزيارات النيزك يتبع توزيع بواسون. ما هو احتمال k = 0 يضرب نيزك في المائة عام القادمة؟

${\displaystyle P(k=0)={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {1}{e}}\approx 0.37}$

في ظل هذه الافتراضات، فإن احتمال عدم اصطدام أي نيازك كبيرة بالأرض خلال المائة عام القادمة هو 0.37 تقريبًا. الباقي 1 - 0.37 = 0.63 هو احتمال حدوث 1، 2، 3، أو أكثر من ضربات نيزك كبير في المائة عام القادمة. في المثال أعلاه، حدث فيضان فائض مرة كل 100 عام ( λ = 1). كان احتمال عدم حدوث فيضانات فائضة خلال 100 عام تقريبًا 0.37، بنفس الحساب.

بشكل عام، إذا حدث حدث ما في المتوسط مرة واحدة لكل فترة زمنية ( λ = 1)، وتتبع الأحداث توزيع بواسون، ثم P (0 أحداث في الفترة التالية) & nbsp ؛ = 0.37. بالإضافة إلى ذلك، P (حدث واحد بالضبط في الفترة التالية) = 0.37، كما هو موضح في الجدول لفيضانات الفائض.

من المحتمل ألا يتبع عدد الطلاب الذين يصلون إلى اتحاد الطلاب في الدقيقة توزيع بواسون، لأن المعدل ليس ثابتًا (معدل منخفض أثناء وقت الفصل، ومعدل مرتفع بين أوقات الفصل) وقادمات الطلاب الفرديين ليسوا مستقلين (الطلاب تميل إلى المجيء في مجموعات).

قد لا يتبع عدد الزلازل التي تبلغ قوتها 5 درجات سنويًا في بلد ما توزيع بواسون إذا زاد زلزال واحد كبير من احتمال حدوث توابع من نفس الحجم.

الأمثلة التي يتم فيها ضمان حدث واحد على الأقل لا يتم توزيع بواسون؛ ولكن يمكن نمذجتها باستخدام توزيع بواسون بدون اقتطاع .

يمكن نمذجة توزيعات العد التي يكون فيها عدد الفترات ذات الأحداث الصفرية أعلى من المتوقع بواسطة نموذج بواسون باستخدام نموذج مضخم صفري .

• تساوي القيمة والتباين المتوقعان لمتغير عشوائي موزع بواسون λ.
• معامل الاختلاف هو ${\displaystyle \textstyle \lambda ^{-1/2}}$ بينما مؤشر التشتت 1. [6]
• متوسط الانحراف المطلق عن المتوسط هو [6]

${\displaystyle \operatorname {E} [|X-\lambda |]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor$ !}}.}

• وضع المتغير العشوائي الموزع بواسون مع عدد غير صحيح يساوي ${\displaystyle \scriptstyle \lfloor \lambda \rfloor }$، وهو أكبر عدد صحيح أصغر من أو يساوي λ . هذا هو مكتوب أيضا الكلمة (λ). عندما λ هو عدد صحيح موجب، وسائط هي λ λ و - 1.
• جميع تراكمات توزيع بواسون تساوي القيمة المتوقعة λ . العزم المضروب n لتوزيع بواسون هو λ ⁿ .
• تتحلل أحيانًا القيمة المتوقعة لعملية بواسون إلى نتاج الكثافة والتعرض (أو يتم التعبير عنها عمومًا على أنها جزء لا يتجزأ من "وظيفة الكثافة" عبر الزمان أو المكان، والتي توصف أحيانًا باسم "التعرض"). [7]

حدود الوسيط ( ${\displaystyle \nu }$ ) من التوزيع معروف وحاد : [8]

${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$

اللحظات الأعلى حول الأصل، m · _k لتوزيع بواسون، هي توشارد كثيرات الحدود في λ:

${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}\left\{{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right\},}$

حيث تشير {الأقواس} إلى أرقام ستيرلنغ من النوع الثاني . [9] [10] معاملات كثيرات الحدود لها معنى اندماجي . في الواقع، عندما تكون القيمة المتوقعة لتوزيع بواسون هي 1، فإن صيغة دوبينسكي تقول إن اللحظة n تساوي عدد الأقسام لمجموعة من الحجم n .

للحظات غير المركزية نحددها ${\displaystyle B=k/\lambda }$، ثم [11]

${\displaystyle E[X^{k}]^{1/k}\leq C\cdot {\begin{cases}k/B&{\text{if}}\quad B<e\\k/\log B&{\text{if}}\quad B\geq e\end{cases}}}$

عندما ${\displaystyle C}$ هو الثابت المطلق أكبر من 0.

لو ${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$ بالنسبة ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$ مستقلة، إذن ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)}$ . [12] العكس هو نظرية رايكوف، التي تقول أنه إذا كان مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين موزعًا بواسون، فسيكون كذلك كل من هذين المتغيرين العشوائيين المستقلين. [13] [14]

• توزيعات بواسون هي توزيعات احتمالية لا نهائية للقسمة . [15] [6]
• الاختلاف الموجه تباعد كولباك - ليبلير ${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$ من ${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )}$ اعطي من قبل

${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(\lambda \mid \lambda _{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$

• ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ يمكن اشتقاقها باستخدام وسيطة منضمة لـ تشيرنوف. [16]

${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ for }}x>\lambda }$ و

${\displaystyle P(X\leq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ for }}x<\lambda .}$

• يمكن تشديد احتمال الذيل العلوي (بمعامل لا يقل عن اثنين) على النحو التالي: [17]

${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$

أين ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(x\mid \lambda )}$ هو التباعد الموجه كولباك – ليبلر، كما هو موضح أعلاه.

المتباينات التي تربط دالة التوزيع لمتغير بواسون العشوائي ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ إلى دالة التوزيع العادي القياسية ${\displaystyle \Phi (x)}$ هي كالتالي: [17]

${\displaystyle \Phi \left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(k\mid \lambda )}}\right)<P(X\leq k)<\Phi \left(\operatorname {sign} (k-\lambda +1){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(k+1\mid \lambda )}}\right),{\text{ for }}k>0,}$

أين ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(k\mid \lambda )}$ هو مرة أخرى اختلاف كولباك – ليبلر الموجه.

يترك ${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ و ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$ تكون متغيرات عشوائية مستقلة، مع ${\displaystyle \lambda <\mu }$، ثم لدينا ذلك

${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$

تم إثبات الحد الأعلى باستخدام حد تشيرنوف القياسي.

يمكن إثبات الحد الأدنى بملاحظة ذلك ${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$ هو احتمال أن ${\displaystyle Z\geq {\frac {i}{2}}}$، أين ${\displaystyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)}$، والتي يحدها أدناه ${\displaystyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{\left(-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)\right)}}$، أين ${\displaystyle D}$ هو إنتروبيا نسبية (انظر المدخل على حدود ذيول التوزيعات ذات الحدين لمزيد من التفاصيل). كذلك مشيرا إلى أن ${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu )}$، وحساب الحد الأدنى على الاحتمال غير المشروط يعطي النتيجة. يمكن العثور على مزيد من التفاصيل في ملحق كاماث وآخرون. [18]

• لو ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ و ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ مستقلة، ثم الاختلاف ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ يتبع توزيع سكيلام.
• لو ${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ و ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ مستقلة، ثم توزيع ${\displaystyle X_{1}}$ على الشرطي ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ هو توزيع ذو الحدين.

على وجه التحديد، إذا ${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k}$، من ثم ${\displaystyle \!X_{1}\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2}))}$ .

بشكل عام، إذا كانت X ₁، X ₂،. . .، X _n هي متغيرات بواسون العشوائية المستقلة مع المعلمات λ ₁، λ ₂، ...، λ _n ثم

معطى ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$${\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right)}$ . في الحقيقة، ${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right)}$

• لو ${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$ وتوزيع ${\displaystyle Y}$، شرطي على X = ك، هو توزيع ذي الحدين، ${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p)}$، ثم يتبع توزيع Y توزيع بواسون ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p)\,}$ . في الواقع، إذا ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$، الشرطي على X = k، يتبع توزيعًا متعدد الحدود، ${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right)}$، ثم كل منهما ${\displaystyle Y_{i}}$ يتبع توزيع بواسون المستقل ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0}$ .
• يمكن اشتقاق توزيع بواسون كحالة مقيدة للتوزيع ذي الحدين حيث أن عدد المحاكمات يذهب إلى اللانهاية والعدد المتوقع للنجاحات يظل ثابتًا - انظر قانون الأحداث النادرة أدناه. لذلك، يمكن استخدامه كتقريب للتوزيع ذي الحدين إذا كان n كبيرًا بدرجة كافية وكان p صغيرًا بدرجة كافية. هناك قاعدة عامة تنص على أن توزيع بواسون هو تقريب جيد للتوزيع ذي الحدين إذا كان n على الأقل 20 و p أصغر من أو يساوي 0.05، وتقريب ممتاز إذا كان n ≥ 100 و np ≤ 10- [19]

${\displaystyle F_{\mathrm {Binomial} }(k;n,p)\approx F_{\mathrm {Poisson} }(k;\lambda =np)\,}$

• توزيع بواسون هو حالة خاصة لتوزيع بواسون المركب المنفصل (أو توزيع بواسون المتلعثم) بمعامل فقط. [20][21] يمكن استنتاج توزيع بواسون المركب المنفصل من التوزيع المحدود للتوزيع أحادي المتغير متعدد الحدود. وهي أيضًا حالة خاصة لتوزيع بواسون المركب .
• للحصول على قيم كبيرة بما فيه الكفاية لـ λ، (مثل λ> 1000)، التوزيع الطبيعي بمتوسط λ والتباين λ (الانحراف المعياري ${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$ ) هو تقريب ممتاز لتوزيع بواسون. إذا كانت أكبر من حوالي 10، فإن التوزيع الطبيعي هو تقريب جيد إذا تم إجراء تصحيح استمراري مناسب، أي إذا كان P ( X ≤ x )، حيث x هو عدد صحيح غير سالب، يتم استبداله بـ P ( X ≤ x + 0.5).

${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )\,}$

• تحول استقرار التباين : إذا ${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$، من ثم

${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1)}$، [6]

و

${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4)}$ . [22]

في ظل هذا التحول، التقارب إلى الحالة الطبيعية (مثل ${\displaystyle \lambda }$ الزيادات) أسرع بكثير من المتغير غير المحول.  تحويلات أخرى، أكثر تعقيدًا قليلاً، لتثبيت التباين متاحة، [6] أحدها هو تحويل أنسكومب. [23] انظر تحويل البيانات (الإحصائيات) لمزيد من الاستخدامات العامة للتحولات.

• إذا كان لكل ر > 0 عدد الوافدين في الفترة الزمنية [0، t ] يتبع توزيع بواسون بمتوسط λt، ثم يكون تسلسل أوقات الوصول بين المتغيرات المستقلة والأسية الموزعة بشكل متماثل لها متوسط 1 / λ . [24]
• ترتبط دالات التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون وكي تربيع بالطرق التالية: [6]

${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$[6]

و

${\displaystyle \Pr(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$

افترض ${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$ أين ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1}$، ثم [25] ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ يتم توزيعها بشكل متعدد الحدود ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ مشروط ${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}}$ .

هذا يعني [16]، من بين أمور أخرى، ذلك لأي وظيفة غير سلبية ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$، لو ${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$ يتم توزيعها متعدد الحدود، إذن

${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$

عندما ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} )}$ .

عامل ${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$ يمكن استبداله بـ 2 إذا ${\displaystyle f}$ يُفترض أيضًا أنه يتزايد أو يتناقص بشكل رتيب.

تم تمديد هذا التوزيع إلى حالة ثنائية المتغير . [26] وظيفة التوليد لهذا التوزيع هي

${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$

مع

${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0\,}$

التوزيعات الهامشية هي بواسون (θ ₁₎ وبواسون (θ ₂₎ ومعامل الارتباط يقتصر على مجموعة

${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}},{\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}\right\}}$

طريقة بسيطة لتوليد توزيع بواسون ثنائي المتغير ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ هو أخذ ثلاث توزيعات بواسون مستقلة ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$ بالوسائل ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ثم ضبط ${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}}$ . دالة الاحتمال لتوزيع بواسون ثنائي المتغير هي

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})\\={}&\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}\end{aligned}}}$

توزيع بواسون المجاني [27] بحجم قفزة ${\displaystyle \alpha }$ ومعدل ${\displaystyle \lambda }$ ينشأ في نظرية الاحتمالات الحرة كحد أقصى للالتفاف الحر المتكرر

${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$

مثل N. → ∞.

وبعبارة أخرى، دعونا ${\displaystyle X_{N}}$ تكون متغيرات عشوائية بحيث ${\displaystyle X_{N}}$ له قيمة ${\displaystyle \alpha }$ مع الاحتمال ${\displaystyle {\frac {\lambda }{N}}}$ والقيمة 0 مع الاحتمال المتبقي. افترض أيضا أن الأسرة ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ مستقلة بحرية . ثم الحد كما ${\displaystyle N\to \infty }$ من قانون ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$ يتم تقديمها بموجب قانون بواسون الحر مع المعلمات ${\displaystyle \lambda ,\alpha }$ .

هذا التعريف مشابه لإحدى الطرق التي يتم بها الحصول على توزيع بواسون الكلاسيكي من عملية بواسون (كلاسيكية).

يتم إعطاء التدبير المرتبط بقانون بواسون المجاني بواسطة [28]

${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\lambda \nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$

عندما

${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$

ولديه دعم ${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}]}$ .

ينشأ هذا القانون أيضًا في نظرية المصفوفة العشوائية مثل قانون مارشينكو - باستور . المتراكمات الحرة لها تساوي ${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}}$ .

نعطي قيمًا لبعض التحولات المهمة لقانون بواسون الحر ؛ يمكن العثور على الحساب في، على سبيل المثال، في كتاب "محاضرتان حول توافقيات الاحتمالية الحرة بواسطة أ. نيكا و ر. سبايشر".[29]

يتم إعطاء تحويل R لقانون بواسون المجاني بواسطة

${\displaystyle R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.}$

يتم إعطاء تحويل كوشي (وهو سلبي لتحويل ستيلجس) بواسطة

${\displaystyle G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}}$

يتم إعطاء تحويل S بواسطة

${\displaystyle S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}}$

في الحالة تلك ${\displaystyle \alpha =1}$ .

إعطاء عينة من القيم المقاسة n ${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,...\}}$، لأني = 1، ...، ن، نرغب في تقدير قيمة المعلمة λ لمجتمع بواسون الذي تم سحب العينة منه. تقدير الاحتمالية القصوى هو [30]

${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!}$

نظرًا لأن كل ملاحظة لها توقع λ فهل تعني العينة. لذلك، فإن تقدير الاحتمالية القصوى هو مقدر غير متحيز لـ λ. وهو أيضًا مقدر فعال نظرًا لأن تباينه يحقق الحد الأدنى كرامر - راو (CRLB).  ومن ثم فإن التباين الأدنى غير متحيز . كما يمكن إثبات أن المجموع (ومن ثم متوسط العينة لأنه دالة فردية للمبلغ) هو إحصائية كاملة وكافية لـ λ.

لإثبات الكفاية، قد نستخدم نظرية العوامل . ضع في اعتبارك تقسيم دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع بواسون المشترك للعينة إلى جزأين: جزء يعتمد فقط على العينة ${\displaystyle \mathbf {x} }$ (مسمى ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ ) وواحد يعتمد على المعلمة ${\displaystyle \lambda }$ والعينة ${\displaystyle \mathbf {x} }$ فقط من خلال الوظيفة ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$ . ثم ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$ إحصائية كافية لـ ${\displaystyle \lambda }$ .

${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$

الفصل الأول، ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$، يعتمد فقط على ${\displaystyle \mathbf {x} }$ . الفصل الثاني، ${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$، يعتمد على العينة فقط من خلال ${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$ . هكذا، ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$ كافي.

للعثور على المعلمة λ التي تزيد من دالة الاحتمال لسكان بواسون، يمكننا استخدام لوغاريتم دالة الاحتمال:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$

نأخذ مشتق من ${\displaystyle \ell }$ فيما يتعلق λ وذلك لمقارنة الصفر:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$

الحل من أجل λ يعطي نقطة ثابتة.

${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$

إذن λ هو متوسط قيم k _i . الحصول على علامة المشتق الثاني لـ L عند النقطة الثابتة سيحدد نوع القيمة القصوى λ .

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$

يعطي تقييم المشتق الثاني عند النقطة الثابتة :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$

وهو سالب n في مقلوب متوسط k _i . هذا التعبير سالب عندما يكون المتوسط موجبًا. إذا تم استيفاء ذلك، فإن النقطة الثابتة تزيد من دالة الاحتمال.

من أجل الاكتمال، يُقال أن عائلة التوزيعات كاملة إذا وفقط إذا ${\displaystyle E(g(T))=0}$ يعني ذلك ${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$ للجميع ${\displaystyle \lambda }$ . إذا كان الفرد ${\displaystyle X_{i}}$ هي iid ${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda )}$، من ثم ${\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda )}$ . من خلال معرفة التوزيع الذي نريد التحقيق فيه، من السهل أن نرى اكتمال الإحصاء.

${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$

من أجل هذه المساواة، ${\displaystyle g(t)}$ يجب أن يكون 0. هذا يأتي من حقيقة أنه لن يكون أي من المصطلحات الأخرى صفرًا للجميع ${\displaystyle t}$ في المجموع ولجميع القيم الممكنة لـ ${\displaystyle \lambda }$ . لذلك، ${\displaystyle E(g(T))=0}$ للجميع ${\displaystyle \lambda }$ يعني ذلك ${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$، وقد ثبت أن الإحصاء مكتمل.

يمكن التعبير عن فاصل الثقة لمتوسط توزيع بواسون باستخدام العلاقة بين وظائف التوزيع التراكمي لتوزيعات بواسون وكي تربيع . يرتبط توزيع مربع كاي ارتباطًا وثيقًا بتوزيع جاما، وهذا يؤدي إلى تعبير بديل. بالنظر إلى الملاحظة k من توزيع بواسون بمتوسط μ، فإن فاصل الثقة لـ μ بمستوى الثقة 1 – α هو

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$

أو مكافئ،

${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$

أين ${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$ هي الدالة الكمية (المقابلة لمنطقة الذيل السفلية p ) لتوزيع مربع كاي مع n من درجات الحرية و ${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$ هي دالة كميّة لتوزيع جاما بمعامل الشكل n ومعلمة المقياس 1. [6][31] هذا الفاصل الزمني " دقيق " بمعنى أن احتمالية تغطيتها لا تقل أبدًا عن 1 – α الاسمي.

عندما لا تتوفر كميات توزيع جاما، تم اقتراح تقريب دقيق لهذه الفترة الزمنية الدقيقة (بناءً على تحويل ويلسون-هيلفيرتي ): [32]

${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$

عندما ${\displaystyle z_{\alpha /2}}$ يشير إلى الانحراف القياسي العادي مع منطقة الذيل العليا α / 2 .

لتطبيق هذه الصيغ في نفس السياق على النحو الوارد أعلاه (بالنظر إلى عينة من القيم المقاسة n k _i مستمدة من توزيع بواسون بمتوسط λ )، يجب تعيين

${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},\!}$

احسب الفاصل الزمني لـ μ = nλ، ثم قم باشتقاق الفترة الزمنية لـ λ .

في الاستدلال البايزي، يكون الاتحاد السابق لمعامل المعدل λ لتوزيع بواسون هو توزيع جاما . [33] اسمحوا

${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )\!}$

تشير إلى أن λ يتم توزيعها وفقًا لكثافة جاما g المحددة من حيث معلمة الشكل α ومعلمة المقياس العكسي β :

${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$

بعد ذلك، بالنظر إلى نفس العينة من قيم n المقاسة k _i كما كان من قبل، وقبل غاما ( α، β )، يكون التوزيع اللاحق

${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right).\!}$

والخلفي يعني E [λ] يقترب تقدير أقصى احتمال ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$ في حدود ${\displaystyle \alpha \to 0,\ \beta \to 0}$، والتي تتبع مباشرة من التعبير العام لمتوسط توزيع جاما .

التوزيع التنبئي اللاحق لملاحظة إضافية واحدة هو توزيع سالب ذي الحدين، [34] يُسمى أحيانًا توزيع غاما-بواسون.

افترض ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$ هي مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة من مجموعة من ${\displaystyle p}$ توزيعات بواسون، ولكل منها معلمة ${\displaystyle \lambda _{i}}$ و ${\displaystyle i=1,\dots ,p}$، ونود تقدير هذه المعلمات. بعد ذلك، أظهر Clevenson و Zidek أنه في ظل خسارة الخطأ التربيعية الطبيعية ${\displaystyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2}}$، متي ${\displaystyle p>1}$، إذن، على غرار مثال شتاين للوسائل العادية، مقدر MLE ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$ غير مقبول .[35]

في هذه الحالة، يتم إعطاء عائلة من مقدر مينيماكس لأي ${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$ و ${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$ كـ [36]

${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$

مقارنة توزيع بواسون (الخطوط السوداء) والتوزيع ذي الحدين مع n = 10 (دوائر حمراء)، ن = 20 (دوائر زرقاء)، ن = 1000 (دوائر خضراء). جميع التوزيعات لها متوسط 5. يُظهر المحور الأفقي عدد الأحداث ك . مع زيادة حجم n، يصبح توزيع بواسون تقريبًا أفضل بشكل متزايد للتوزيع ذي الحدين بنفس المتوسط.

يرتبط معدل الحدث باحتمالية وقوع حدث في فترة فرعية صغيرة (من الوقت أو المكان أو غير ذلك). في حالة توزيع بواسون، يفترض المرء أن هناك فترة فرعية صغيرة بما فيه الكفاية بحيث يكون احتمال وقوع حدث مرتين "ضئيلاً". مع هذا الافتراض، يمكن للمرء اشتقاق توزيع بواسون من التوزيع ذي الحدين، مع الأخذ في الاعتبار فقط معلومات العدد المتوقع من الأحداث الإجمالية في الفترة الزمنية بأكملها. دع هذا العدد الإجمالي يكون ${\displaystyle \lambda }$ . قسّم الفترة الزمنية بأكملها إلى ${\displaystyle n}$ فترات فرعية ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$ من نفس الحجم، مثل هذا ${\displaystyle n}$ > ${\displaystyle \lambda }$ (نظرًا لأننا مهتمون فقط بأجزاء صغيرة جدًا من الفاصل الزمني، فإن هذا الافتراض مفيد). هذا يعني أن العدد المتوقع للأحداث في فترة ${\displaystyle I_{i}}$ لكل ${\displaystyle i}$ يساوي ${\displaystyle \lambda /n}$ . نفترض الآن أن حدوث حدث في الفترة الزمنية بأكملها يمكن اعتباره تجربة برنولي، حيث ${\displaystyle i^{th}}$ محاكمة تقابل النظر فيما إذا كان حدث ما يحدث في الفترات الفرعية ${\displaystyle I_{i}}$ مع الاحتمال ${\displaystyle \lambda /n}$ . العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في ${\displaystyle n}$ ستكون مثل هذه المحاكمات ${\displaystyle \lambda }$، العدد المتوقع لإجمالي الأحداث في الفترة الزمنية بأكملها. ومن ثم، بالنسبة لكل قسم فرعي من الفترة الزمنية، فقد اقتربنا من حدوث الحدث كعملية برنولي للنموذج ${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n)}$ . كما لاحظنا من قبل، نريد أن ننظر فقط في فترات فرعية صغيرة جدًا. لذلك، نأخذ النهاية على أنها ${\displaystyle n}$ يذهب إلى ما لا نهاية. في هذه الحالة، يتقارب التوزيع ذي الحدين مع ما يُعرف باسم توزيع بواسون بواسطة نظرية حدود بواسون.

في العديد من الأمثلة المذكورة أعلاه - مثل عدد الطفرات في تسلسل معين من الحمض النووي - الأحداث التي يتم عدها هي في الواقع نتائج تجارب منفصلة، وستكون أكثر دقة في نمذجة باستخدام التوزيع ذي الحدين، أي

${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).\,}$

في مثل هذه الحالات، يكون n كبيرًا جدًا و p صغيرًا جدًا (وبالتالي فإن التوقع np متوسط الحجم). ثم يمكن تقريب التوزيع عن طريق توزيع بواسون الأقل تعقيدًا

${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).\,}$

هذا التقريب والتي تعرف أحيانا باسم قانون الأحداث النادرة، [49] لأن كل من ن الفردية الأحداث برنولي نادرا ما يحدث. قد يكون الاسم مضللًا لأن العدد الإجمالي لأحداث النجاح في عملية بواسون لا يلزم أن يكون نادرًا إذا لم تكن المعلمة np صغيرة. على سبيل المثال، عدد المكالمات الهاتفية إلى لوحة مفاتيح مزدحمة في ساعة واحدة يتبع توزيع بواسون مع ظهور الأحداث بشكل متكرر للمشغل، لكنها نادرة من وجهة نظر الفرد العادي من السكان الذين من غير المرجح أن يقوموا بذلك. مكالمة إلى لوحة التبديل تلك في تلك الساعة.

تُستخدم كلمة قانون أحيانًا كمرادف لتوزيع الاحتمالات، والتقارب في القانون يعني التقارب في التوزيع . وفقًا لذلك، يُطلق على توزيع بواسون أحيانًا "قانون الأعداد الصغيرة" لأنه التوزيع الاحتمالي لعدد تكرارات حدث نادر الحدوث ولكن توجد فرص كثيرة جدًا لحدوثه. قانون أرقام صغير هو كتاب لادسلاو بورتكيفيز حول توزيع بواسون، التي نشرت في عام 1898. [40] [50]

ينشأ توزيع بواسون بعدد نقاط عملية نقطة بواسون الموجودة في منطقة محدودة. وبشكل أكثر تحديدًا، إذا كانت D عبارة عن مساحة منطقة ما، على سبيل المثال، الفضاء الإقليدي R ^d، الذي | D |، المساحة، الحجم، أو بشكل عام، مقياس ليبيسج للمنطقة محدود، وإذا كان N(D) يشير إلى عدد النقاط في D، إذن

${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$

يعد انحدار بواسون والانحدار السالب ذي الحدين مفيدًا للتحليلات حيث يكون المتغير التابع (الاستجابة) هو العدد (0، 1، 2، ...) لعدد الأحداث أو التكرارات في فترة.

في عملية بواسون، يتقلب عدد الأحداث المرصودة حول متوسطها λ مع الانحراف المعياري ${\displaystyle \sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}}$ . يشار إلى هذه التقلبات على أنها ضوضاء بواسون أو (خاصة في الإلكترونيات) كضوضاء لقطة.

يعتبر ارتباط المتوسط والانحراف المعياري في حساب الأحداث المنفصلة المستقلة مفيدًا علميًا. من خلال مراقبة كيفية اختلاف التقلبات مع الإشارة المتوسطة، يمكن للمرء تقدير مساهمة حدوث واحد، حتى لو كانت هذه المساهمة صغيرة جدًا بحيث لا يمكن اكتشافها مباشرة . على سبيل المثال، يمكن تقدير الشحنة الإلكترونية على الإلكترون من خلال ربط حجم التيار الكهربائي بضوضاء اللقطة . إذا مرت إلكترونات N نقطة في وقت معين t في المتوسط، يكون متوسط التيار ${\displaystyle I=eN/t}$ ؛ لأن التقلبات الحالية يجب أن تكون بالترتيب ${\displaystyle \sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t}$ (أي الانحراف المعياري لعملية بواسون )، الشحنة ${\displaystyle e}$ يمكن تقديرها من النسبة ${\displaystyle t\sigma _{I}^{2}/I}$ .

المثال اليومي هو التحبب الذي يظهر عند تكبير الصور ؛ يعود سبب التحبب إلى تقلبات بواسون في عدد حبيبات الفضة المنخفضة، وليس إلى الحبوب الفردية نفسها. من خلال ربط التحبب بدرجة التوسيع، يمكن للمرء تقدير مساهمة حبة فردية (والتي تكون صغيرة جدًا بحيث لا يمكن رؤيتها بدون مساعدة).  تم تطوير العديد من التطبيقات الجزيئية الأخرى لضوضاء بواسون، على سبيل المثال، تقدير كثافة عدد جزيئات المستقبل في غشاء الخلية .

${\displaystyle \Pr(N_{t}=k)=f(k;\lambda t)={\frac {(\lambda t)^{k}e^{-\lambda t}}{k!}}.}$

في نظرية المجموعة السببية، تتبع العناصر المنفصلة للزمكان توزيع بواسون في الحجم.

الحوسبة ${\displaystyle P(k;\lambda )}$ على سبيل المعطى ${\displaystyle k}$ و ${\displaystyle \lambda }$ هي مهمة تافهة يمكن إنجازها باستخدام التعريف القياسي لـ ${\displaystyle P(k;\lambda )}$ من حيث الدوال الأسية والقوة والعاملة. ومع ذلك، فإن التعريف التقليدي لتوزيع بواسون يحتوي على مصطلحين يمكن أن يفيضان بسهولة على أجهزة الكمبيوتر: λ ^k و k ! . الجزء من λ ^k إلى k ! يمكن أن ينتج عنه خطأ تقريب كبير جدًا مقارنة بـ e ^−λ، وبالتالي يعطي نتيجة خاطئة. من أجل الاستقرار العددي، يجب تقييم دالة كتلة احتمالية بواسون على أنها

${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],}$

وهو مكافئ رياضيًا ولكنه مستقر عدديًا. يمكن الحصول على اللوغاريتم الطبيعي لوظيفة جاما باستخدام وظيفة lgamma في مكتبة C القياسية (إصدار C99) أو R، أو دالة gammaln في ماتلاب أو سي باي، أو دالة log_gamma في فورتران 2008 وما بعده.

توفر بعض لغات الحوسبة وظائف مدمجة لتقييم توزيع بواسون، وهي

• آر لغة برمجة: وظيفة dpois(x, lambda) ؛
• مايكروسوفت إكسل : دالة بواسون( x, mean, cumulative)، مع علامة لتحديد التوزيع التراكمي ؛
• ماثماتيكا : توزيع بواسون أحادي المتغير كـ بواسونDistribution[ ${\displaystyle \lambda }$ ]، [51] توزيع بواسون ثنائي المتغير كـ MultivariateبواسونDistribution[ ${\displaystyle \theta _{12}}$ ,{ ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12}}$, ${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$ }]،.[52]

المهمة الأقل أهمية هي استخلاص أعداد صحيحة عشوائية من توزيع بواسون مع المعطى ${\displaystyle \lambda }$ .

يتم توفير الحلول من خلال:

• آر: وظيفة rpois(n, lambda) ؛
• مكتبة جنو العلمية (GSL): الوظيفة gsl_ran_بواسون

دونالد كانوث خوارزمية بسيطة لتوليد أرقام عشوائية موزعة بواسون ( أخذ عينات أرقام عشوائية زائفة ): [53]

algorithm poisson random number (Knuth):
   init:
     Let L ← e−λ, k ← 0 and p ← 1. 
   do: 
     k ← k + 1. 
     Generate uniform random number u in 
[0,1] and let p ← p × u.
  while p > L.
  return k − 1.

التعقيد خطي في القيمة المرجعة k، والتي تكون في المتوسط. هناك العديد من الخوارزميات الأخرى لتحسين هذا. يتم إعطاء بعضها في آرينز & ديتر، انظر § مراجع أدناه. بالنسبة للقيم الكبيرة لـ λ، قد تكون قيمة L = e ^−λ صغيرة جدًا بحيث يصعب تمثيلها. يمكن حل هذا عن طريق تغيير الخوارزمية التي تستخدم معلمة إضافية STEP بحيث لا ^تتدفق e ^−STEP :

algorithm poisson random number (Junhao, 
based on Knuth):
   init: 
     Let λLeft ← λ, k ← 0 and p ← 1.
   do:
     k ← k + 1. 
     Generate uniform random number u in 
(0,1) and let p ← p × u.
     while p < 1 and λLeft > 0: 
        if λLeft > STEP:
           p ← p × eSTEP 
           λLeft ← λLeft − STEP 
        else:
           p ← p × eλLeft 
           λLeft ← 0 
   while p > 1. 
   return k − 1.

يعتمد اختيار STEP على عتبة الفائض. بالنسبة لصيغة النقطة العائمة ذات الدقة المزدوجة، تكون العتبة قريبة من ⁷⁰⁰ e، لذا يجب أن تكون 500 خطوة آمنة.

تشمل الحلول الأخرى للقيم الكبيرة لـ أخذ عينات رفض واستخدام تقريب غاوسي.

معكوس تحويل أخذ العينات هي بسيطة وفعالة للقيم صغيرة من λ، وتتطلب رقم عشوائي موحد واحد فقط لكل عينة U. يتم فحص الاحتمالات التراكمية بدورها حتى يتجاوز المرء U.[54]

algorithm Poisson generator based upon 
the inversion by sequential 
search::505 
   init:
     Let x ← 0, p ← e−λ, s ← p. 
     Generate uniform random number u in 
[0,1]. 
   while u > s do:
     x ← x + 1.
     p ← p × λ / x. 
     s ← s + p.
   return x.

${\displaystyle {\frac {f(x+1)}{f(x)}}={\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{(}x+1)}}{(x+1)!}}{\frac {x!}{e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}}={\frac {\lambda }{X+1}}}$

إذن تبين لنا أن (f(x دالة متزايدة إذا كانت ${\displaystyle X<\lambda -1}$ وأنها متناقصة إذا كانت ${\displaystyle X>\lambda -1}$ أما إذا كانت ${\displaystyle X=\lambda -1}$ فذلك يعني ${\displaystyle f(\lambda )=f(\lambda -1)}$ وعلى ذلك إذا كانت ${\displaystyle \lambda -1}$ عدد صحيح فيكون هناك منوالان عند ${\displaystyle X=\lambda ,X=\lambda -1}$ أما إذا كانت ${\displaystyle \lambda -1}$ عدد غير صحيح فيكون المنوال هو العدد الصحيح الذي يأتي فورا بعد ${\displaystyle \lambda -1}$.

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{S=0}^{\infty }f(S)}$

${\displaystyle \mu =E(x)=\sum _{x=0}^{\infty }x{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}{x!}}=\lambda \sum _{x=1}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{(x-1)}}}{(x-1)!}}}$

وحيث أن

${\displaystyle \mu =E(x)=\sum _{x=1}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{(x-1)}}}{(x-1)!}}=\sum _{Y=0}^{\infty }x{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{Y}}}{Y!}}=1}$

إذن ${\displaystyle \lambda =\mu }$

لكي نحصل على تباين بوسون نوجد أولا القيمة المتوقعة

${\displaystyle E[X(X-1)]=\sum _{x=0}^{\infty }x{\frac {(x-1)e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}{x!}}=\lambda ^{2}\sum _{x=2}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{(x-2)}}}{(x-2)!}}=\lambda ^{2}}$

أي أن

${\displaystyle E(X^{2})-E(X)=\lambda ^{2}}$

${\displaystyle \therefore E(X^{2})=\lambda ^{2}+\lambda }$

إذن

${\displaystyle \sigma ^{2}=E(X^{2})-\mu ^{2}=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda }$

ونستنتج من ذلك أن: التباين = المتوسط = ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{xt})\sum _{x=0}^{\infty }e^{xt}{\frac {e^{-\lambda }{\lambda ^{x}}}{x!}}}$

${\displaystyle =e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {(\lambda e^{t})^{x}}{x!}}}$

${\displaystyle =e^{-\lambda }e^{\lambda e^{t}}=e^{\lambda (e^{t}-1)}}$