مجال ثقة

لنفرض أن لدينا عينة عشوائية ${\displaystyle X}$ من توزع احتمالي ذي معلمة (بارامتر) ${\displaystyle \theta }$. لكي نتمكن من معرفة قيمة ${\displaystyle \theta }$ للتوزع الاحتمالي بمستوى ثقة قدره ${\displaystyle \gamma }$ يمكننا تعريف مجال ثقة بحدين عشوائيين ${\displaystyle u(X)}$ و ${\displaystyle v(X)}$ يحققان الصيغة التالية:

${\displaystyle {\Pr }_{\theta ,\phi }(u(X)<\theta <v(X))=\gamma {\text{ for all }}(\theta ,\phi )}$

حيث:

${\displaystyle {\Pr }_{\theta ,\phi }}$ يشير إلى توزع الاحتمال للعينة العشوائية ${\displaystyle X}$ ذي المعلمتين ${\displaystyle \theta }$ و ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi }$ هي مَعلمة إحصائية للتوزع الاحتمالي لسنا مهتمين بها في الدراسة لكنها توصّف التوزع الاحتمالي

${\displaystyle u,v}$ هما دالتان لتحديد قيمتين عشوائيتين من ${\displaystyle X}$ (التي بدورها هي عينة عشوائية)

يمكن قراءة الصيغة أعلاه على النحو التالي: إن مجال الثقة الواقع بين الحدين العشوائيين ${\displaystyle u(X)}$ و ${\displaystyle v(X)}$ المأخوذين من العينة العشوائية ${\displaystyle X}$ يحتوي على القيمة الحقيقية لـ ${\displaystyle \theta }$ باحتمال قدره ${\displaystyle \gamma }$. لاحظ أنه يمكننا استعمال مفهوم "الاحتمال" هنا كون أننا ما زلنا نتكلم عن عينة عشوائية ${\displaystyle X}$ لكن حالما نقوم فعليا بأخذ العينة ولنسمها ${\displaystyle x}$ ونقوم بتحديد مجال ثقة بعينه ${\displaystyle (u(x),v(x))}$ فإننا أصبحنا أمام مثال واحد (عينة واحدة) من بين كل الأمثلة الممكنة (كل العينات الممكنة) وبالتالي لن يكون من الصحيح الحديث عن "احتمال قدره ${\displaystyle \gamma }$ لاحتواء المجال على قيمة المعلمة ${\displaystyle \theta }$" وإنما نقول أن هذا المجال هو ذو مستوى ثقة قدره ${\displaystyle \gamma }$.

إذا أجرينا اختبار فرضية إحصائية ما فيكون مستوى الثقة هو متمم متسوى الدلالة المنشود للاختبار. فإذا كان مستوى الدلالة المطلوب من قبل الباحثين هو 5% فيجب أن يكون مستوى الثقة هو 95%.[4] وبهذا يكون مجال الثقة حاويا على القيم المحتملة للمعلمة الإحصائية والتي عند إخضاعها للاختبار الإحصائي باستخدام نفس العينة فلن يمكن أن يتم رفضها.

• مجتمع إحصائي
• توزع احتمالي طبيعي

في كومنز صور وملفات عن: مجال ثقة

• بوابة إحصاء