متسلسلة تايلور

إذا كانت الدالة الرياضية (f(x قابلة للاشتقاق n مرة في النقطة ${\displaystyle {x}_{0}\!}$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:

${\displaystyle f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)\!}$

حيث ${\displaystyle T_{n}(x)\!}$ يدعى بمتسلسلة تايلور وتساوي:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}$

أو

${\displaystyle T_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots +{\frac {f^{n}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

و يمكن اعتبار متعدد الحدود ${\displaystyle T_{n}(x)\,}$ تقريبا للدالة f في النقطة ${\displaystyle x_{0}}$

إذا اعتُبرت المتسلسلة المنتهية لتايلور وعوضت n بلانهاية فإنه يُحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء ${\displaystyle R_{n}(x)\!}$ يصير صفرا والمتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x.

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{k}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}}$

أو

${\displaystyle T_{n}(x)=f(x_{0})+{\frac {f'(x_{0})}{1!}}(x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})}{2!}}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

متسلسلة ماكلورين للدالة الأسية ${\displaystyle e^{x}}$ ذات القاعدة e هي كما يلي:

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$

هذه المتسلسلة تتقارب مهما كانت قيمة x.

لوغاريتم طبيعي (بقاعدة e) لها متسلسلة تايلور بالنسبة للمتسلسلة الأولى ومتسلسلة ماكلورين للثانية والثالثة.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(1-x)^{n}}{n}}=-(1-x)-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}-{\frac {(1-x)^{3}}{3}}-\cdots ,\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}$

وتتقارب ل ${\displaystyle |x|<1}$. (بالإضافة فإن متسلسلة ln(1 − x) تتقارب ل x = −1, والمتسلسلة ل ln(1 + x) تتقارب ل x = 1.)

${\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum _{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

متسلسلات هندسية لانهائية:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(1-x)^{n}{\text{ for }}|x|>0\!}$

${\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} _{0}\!}$

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}$

${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}$

الجذر التربيعي:

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots {\text{ for }}|x|\leq 1}$

متسلسلة كثيرة حدود (متضمنة الجذور التربيعية ذات α = 1/2 والمتسلسلة الهندسية اللانهائية لـ α = −1):

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1}$

${\displaystyle {\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}$

حيث ${\displaystyle \alpha \!}$ عدد عقدي.

${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}$

${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}$

${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

حيث B_s هي أعداد بيرنولي.

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arccos(x)={\pi \over 2}-\arcsin(x)=\arcsin(1)-\arcsin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}1^{2n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}1-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}(1-x^{2n+1}){\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}$

${\displaystyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}$

${\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

${\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}$

${\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!}$