تكامل خطي

يمكن تفسير التكامل الخطي على مجال قياسي بأنه المساحة تحت المجال المنحوتة بمنحنى معين. تخيل السطح المنشأ بـz = f(x,y) والمنحنى C في المستوى x-y. يكون التكامل الخطي لـf هو المساحة الناتجة من نقش هذه النقاط على السطح C مباشرة.

إذا كان لدينا مجال قياسي f : U ⊆ Rⁿ → R, يعرف التكامل الخطي على منحنى C ⊂ U is على أنه

${\displaystyle \int _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

حيث

r: [a, b] → C تقابل بارامتري للمنحنى C بحيث أن r(a) وr(b) يعطي النقاط الطرفية لـC.

باستخدام التعاريف السابقة لـf, C وصورتها البارامترية r(t) يمكن إنشاء التكامل من مجموع ريمان وذلك بتقسيم الفترة [a,b] إلى n فترة طولها Δt = (b − a)/n. وبجعل t_iالنقطة الـi على [a,b], بالتالي r(t_i) تعطينا موقع النقطة i على المنحنى. ونكون قد قربنا المنحنى C بمسار مضلع.

${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))\Delta s_{i}}$

وبما أن المسافة بين كل نقطتين متجاورتين هي:

${\displaystyle \Delta s_{i}=|\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})|=|\mathbf {r} '(t_{i})|\Delta t}$

وبتعويضها في مجموع ريمان

${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t_{i}))|\mathbf {r} '(t_{i})|\Delta t}$

وهذا هو مجموع ريمان للتكامل

${\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}$

بالنسبة لـ مجال متجه F : U ⊆ Rⁿ → Rⁿ, يعرف التكامل الخطي على منحنى C ⊂ U, في اتجاه r, كما يلي:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

حيث · هو الضرب القياسي r: [a, b] → C صورة التقابل البارامترية للمنحنى C بحيث r(a) وr(b) تعطي النقاط ال C. أي أن التكامل الخطي لمجال قياسي ما هو إلا تكامل خطي لمجال متجه تكون المتجهات فيه دائمًا مماسية على الخط.

المسار المنحنى لجسيم على منحنى داخل مجال متجه متجهات المجال في الأسفل المشاهدة من قبل الجسيم عندما تتحرك على طول المنحنى. إجمالي الضرب القياسي لهذه المتجهات مع مماس المتجه للمنحنى عند كل نقطة من المسار المنحني سينتج عنه التكامل الخطي.

بنفس الطريقة والتعاريف السابقة، ولكن بدلًا من حساب المسافات بين النقاط، سيتم احتساب إزاحات متجهاتها, Δs_i. وبحساب F عند جميع النقاط كما سبق وبأخذ الضرب القياسي مع كل إزاحة نحصل على نصيب كل جزء من F' على C. بي

${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \Delta \mathbf {s} _{i}}$

نلاحظ أن متجه الإزاحة بين كل نقطتين متتابعتين على المنحنى هو

${\displaystyle \Delta \mathbf {s} _{i}=\mathbf {r} (t_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t_{i})=\mathbf {r} '(t_{i})\Delta t}$

وبتعويض ذلك في مجموع ريمان نحصل على

${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t_{i})\Delta t}$

وهي كذلك مجموع ريمان للتكامل المعرف آنفًا.

إذا كان المجال F هو تدرج لمجال قياسي G, أي,

${\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}$

فإن الاشتقاق للدالة المركبة من G و(r(t هو

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

والذي يكون معامل التكامل للتكامل F على (r(t. وعليه إذا علم المسار C , فإن

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$

وبتعبير آخر، تكامل F على C يعتمد فقط على قيم G في النقاط (r(b و(r(a وهو بالتالي فهو مستقل عن المسار بينها.

تطبيقات التكامل الخطي تشمل الشغل في المجالات الميكانيكية، الكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم.

لتكن الدالة f(z)=1/z, وC هي دائرة الوحدة حول 0, والتي يمكن تمثيلها بارامتريًّا بـ e^it, علمًا أن t في الفترة [0, 2π]. بالتعويض نجد أن:

${\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int _{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt}$

${\displaystyle =i\int _{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i}$

حيث يمكننا استخدام حقيقة أن z يمكن كتابتها بالصورة re^it حيث r هي القيمة المطلقة لـ z. هذا يثبت على 1 في دائرة الوحدة، ويكون المتغير الوحيد المتبقي هو الزاوية، والتي رمز إليها بـ t. يمكن التحقق من هذه الإجابة من صيغة تكامل كوشي.