قيمة مطلقة

لأي عدد حقيقي a، يرمز للقيمة المطلقة بالرمز | a | وتعرف ب:

${\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a<0.\end{cases}}}$

من التعريف يتضح أن القيمة المطلقة تكون دائما إما موجبة أو مساوية للصفر ولكن لا يمكن أن تكون سالبة.

من وجهة نظر الهندسة التحليلية فإن القيمة المطلقة هي المسافة من الصفر على طول خط الأعداد الحقيقية. وبتعبير آخر، المسافة بين عددين هي القيمة المطلقة للفرق بينهما.

القيمة المطلقة لعدد صحيح ما، هي المسافة بين ذلك العدد والصفر. وتكون القيمة المطلقة عددا موجبا لِأن المسافات معدودة والأعداد الموجبة هي أعداد العد. يوضع العدد المراد معرفة قيمته المطلقة بين عارضتين أفقيتين | |. الجدول التالى يوضح القيمة المطلقة للأعداد الصحيحة.[2]

القيمة المطلقة لعدد مركب z هي المسافة r من z إلى نقطة الاصل.

يمكن إعادة تعريف القيمة المطلقة لعدد مركب رياضيا من العلاقة

${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}$

والذي يمكن تعميمه كما يلي:

لاي عدد مركب

${\displaystyle z=x+iy,\,}$

حيث x وy أعداد حقيقية، القيمة المطلقة لـ z ورمزها |z| تعرف ب

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

دالة القيمة المطلقة عند عدد حقيقي تعطي قيمته بدون النظر إلى إشارته بينما دالة الإشارة تعطي إشارته دون النظر إلى قيمته. فيما يلي العلاقة التي تربط الدالتين:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

وحين يكون x ≠ 0،

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}.}$

تعريف القيمة المطلقة على الأعداد الحقيقية يمكن أن يمدد إلى أي حلقة مرتبة. فعلا، إذا كان a عنصرا من الحلقة المرتبة R، فإن القيمة المطلقة ل a والتي يُرمز إليها ب |a| تعرف كما يلي:

${\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a\leq 0\end{cases}}\;}$

حيث a- هو المعاكس الجمعي ل a، و0 هو العنصر المحايد بالنسبة إلى الجمع.