دوال زوجية وفردية

ƒ(x) = x² مثال على الدوال الزوجية.

تكون دالة ما زوجية إذا تحقق ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ لكل قيم ${\displaystyle x}$. أي أن قيمة ${\displaystyle y=f(x)}$ لا تتغير عند وضع ${\displaystyle -x}$بدلاً من ${\displaystyle x}$.

إذا لم تكن الدالة زوجية، فهي إما أنها دالة فردية أو أنها لا زوجية ولا فردية.

ƒ(x) = x³ مثال على الدوال الفردية.

'الدالة الفردية أو الاقتران الفردي، وتكون الدالة f فردية إذا كان ${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$ لكل قيم ${\displaystyle x}$.

فمثلا ${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$هي دالة فردية.

لأن ${\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)}$ مهما كانت ${\displaystyle x}$.

${\displaystyle {\mathcal {}}p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{2}x^{2}+a_{0}}$

حيث ${\displaystyle n}$ عدد زوجي، ${\displaystyle \ P(x)=P(-x)}$ و الإشارة السالبة ستختفي من كل حد بسبب القوى الزوجية.

مثال :

الدالة التربيعية ${\displaystyle \ y=f(x)=x^{2}+5}$

هي دالة زوجية لأن قيمة y لا تتغير سواء كانت قيمة مدخل الدالة هو x أو هو -x. على سبيل المثال،

${\displaystyle \ (-3)^{2}=3^{2}=9}$

دالة جيب التمام

${\displaystyle y=\cos x}$

${\displaystyle \left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert }$

الدالة الصفرية هي دالة زوجية وفردية في آن معا ${\displaystyle f(x)=f(-x)=-f(x)}$. هي الدالة الوحيدة التي تحقق هذه الخاصية.

• إذا كانت دالة ما زوجية وفردية في آن واحد، فإنها تساوي الصفر حيثما عُرّفت.
• إذا كانت دالة ما فردية، فإن القيمة المطلقة لهذه الدالة تعرف دالة زوجية.

• جمع أو طرح دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
• جمع أو طرح دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
• جمع دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة لا هي فردية ولا هي زوجية، إلا إذا كانت إحدى الدالتين مساوية للصفر.

• جداء دالتين زوجيتين هو دالة زوجية.
• جداء دالتين فرديتين هو دالة زوجية.
• جداء دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة فردية.
• قسمة دالة زوجية على دالة زوجية أخرى هو دالة زوجية.
• قسمة دالة فردية على دالة فردية أخرى هو دالة زوجية.
• قسمة دالة فردية على دالة زوجية أو عكس ذلك يعطي دالة فردية.

• تركيب دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
• تركيب دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
• تركيب دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة زوجية.
• تركيب دالتين لا شرط على الأولى والثانية زوجية هو دالة زوجية (العكس غير صحيح).