متسلسلة فورييه

بالنسبة للدالة الدورية (ƒ(x القابلة للتكامل على [−π, π]، الإعداد

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\quad n\geq 0}$

و

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx,\quad n\geq 1}$

يطلق عليها معاملات فورييه للدالة ƒ. أحدها يعطي المجاميع الجزئية لمتسلسلات فورييه للدالة ƒ, يرمز لها عادة بـ

${\displaystyle (S_{N}f)(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)],\quad N\geq 0.}$

المجاميع الجزئية لـ ƒ هي كثيرات حدود مثلثية. يتوقع المرء أن الدوال S_N ƒ هي تقريبات للدالة ƒ، وأن التقارب يتحسن عندما تقترب N من مالانهاية. يطلق على المجموع المحدود

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\,[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)]}$

اسم متسلسلة فورييه للدالة ƒ.

لا تتقارب متسلسلات فورييه دائما، وحتى عندما تتقارب بالنسبة لقيمة معينة، x₀ of x، فإن مجموع السلسلة عند x₀ قد تختلف من قيمة ƒ(x₀) للدالة.

مخطط بياني لدالة دورية مكافئة لـ— موجة سن المنشار

مخطط حركي للأجزاء الخمسة الأولى من متسلسلة فورييه

باستعمال الصيغة المذكورة آنفا، نفرض معادلة سن المنشار

${\displaystyle f(x)=x,\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty .}$

تكون معاملات فورييه هنا

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx=-{\frac {2}{n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi n^{2}}}\sin(n\pi )=2\,{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

يمكن إثبات أن متسلسلة فورييه تتقارب إلى (ƒ(x عند كل نقطة x حيث ƒ قابلة للتفاضل، وبالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}}$

(Eq.1)

نعنx = π، تقترب المتسلسلة من 0, وهذا نصف المجموع للنهاية اليسرى واليمنى للدالة ƒ عند x = π.