معادلة الحرارة

معادلة الحرارة في بعد واحد (x) هي أبسط صيغ المعادلة وتصف معدل تغير الحرارة في قضيب نحيف وطويل لدرجة يمكن حينها غض الطرف عن انتقال الحرارة في بقية الأبعاد نتيجة ضآلة تأثيرها. وتعطى المعادلة بحسب الصيغة التالية وهي مشتقة من قانون فورييه وقانون حفظ الطاقة.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c_{p}\rho }}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)}$

حيث :${\displaystyle \alpha ={k \over {\rho c_{p}}}}$ تمثل الانتشارية الحرارية.

في وسط متجانس ثلاثي الأبعاد، فإن معادلة الحرارة للدالة :${\displaystyle u(x,y,z,t)}$ تصاغ حسب الآتي:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u-\alpha \Delta u=0,}$

حيث ${\displaystyle \Delta }$ رمز مؤثر لابلاس و${\displaystyle \alpha }$ رمز الانتشارية الحرارية للوسط.

أما إذا كان الوسط لا متجانسا مثل جسم الإنسان حيث تختلف الخواص الحرارية للجلد عن الخواص الحرارية في العضلات عنها في الأحشاء عنها في الدم عنها في السوائل الموجودة في الجسم. فإن المعادلة تأخذ الصيغة التالية.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u-\alpha \Delta u=f(x,y,z,t)}$

حيث :${\displaystyle f(x,y,z,t)}$ دالة معطاة. وحين تكون مشتقة الدالة ${\displaystyle u}$ بالنسبة للزمن الصفر حيث ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u=0}$ فإن المعادلة تأخذ شكل معادلة بواسون.

والانتشارية الحرارية تعطى بالصيغة التالية

${\displaystyle \alpha ={k \over {\rho c_{p}}}}$

حيث :

• ${\displaystyle {\mathcal {}}k}$ : ثابت التوصيل الحراري (حسب نظام الوحدات الدولي وحدة : واط / (متر.كلفن))

• ${\displaystyle {\mathcal {}}\rho }$ : الكثافة (كجم/ مترمكعب)

• ${\displaystyle c_{p}\,}$ : سعة الحرارة النوعية (جول / (كغم.كلفن))