معادلة بواسون

تصاغ معادلة بواسون رياضيات حسب التالي:

${\displaystyle \Delta \varphi =f}$

حيث :${\displaystyle f}$ دالة حقيقية (ليست متجه) و:${\displaystyle \varphi }$ هي المطلوب إيجادها وهي بدورها مقدار سلمي فيما تمثل ${\displaystyle \Delta }$ رمز المؤثر التفاضلي لابلاسيان. وتفكك المعادلة في الإحداثيات الديكارتية ثلاثية الأبعاد على النحو التالي:

${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}\right)=f(x,y,z).}$

وحينما تكون الدالة :${\displaystyle f=0}$. تسمى المعادلة حينئذ معادلة لابلاس.

حسب قانون جاوس (أحد معادلات ماكسويل) فإن:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho }$    (1)

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$ هو مؤثر التباعد.

${\displaystyle \mathbf {D} }$تمثل الإزاحة الكهربائية.

${\displaystyle \rho \,}$ كثافة الشحنات الحرة.

وبما أن:

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$   (2)

${\displaystyle \epsilon _{0}}$ سماحية الوسط.

${\displaystyle \mathbf {E} }$ المجال الكهربائي.

وبما أنه لكل مجال كهروسكوني (حسب معادلات ماكسويل للمجالات الكهربائية الساكنة):

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$

${\displaystyle \nabla \times }$ يمثل مؤثر التكور.

فإنه يمكن كتابة المجال الكهربائي حسب التالي (انظر تفكيك هلمهولتز للمتجهات) :

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V}$   (3)

حيث ${\displaystyle V}$ تمثل الكمون الكهربائي.

${\displaystyle \mathbf {\nabla } }$ هو مؤثر التدرج.

فإنه بتطبيق مؤثر التباعد على المعادلة (3) ثم التعويض عن الطرف الأيسر فيها بالمعادلة (1) و(2) ينتج ما يلي.

${\displaystyle \nabla \cdot \nabla V=\nabla ^{2}V=\Delta V=-{\rho \over \epsilon _{0}}.}$

وهذه المعادلة هي على هيئة معادلة بواسون.

• نظرية الفردية
• سيمنز (وحدة)
• مطاوعة كهربائية

• بوابة الفيزياء
• بوابة تحليل رياضي
• بوابة رياضيات