جمع

ربما يكمن أكثر تفسيرات الجمع بساطة في فكرة جمع المجموعات: عندما يتم جمع مجموعتين لتصبحان مجموعة مفردة، فإن عدد الأشياء الموجودة في المجموعة المفردة يساوي عدد الأشياء في المجموعتين الأصليتين. ويمكن بسهولة تصور هذا التفسير على نحو مرئي بدون إبهام، وهذا التفسير هام أيضا في المستويات العليا في الرياضيات، إلا أنه يصعب الامتداد به ليشمل الأعداد الكسرية أو الأعداد السالبة. إلا أنه للتغلب على هذا النقص يمكن اعتبار الأشياء في المجموعة أنها يمكن تقسيمها بسهولة، مثل الفطائر أو العصي المقسمة، وبدلا من أن نتصور مجرد جمع الأقسام معا، يمكن تصور وضع العصاتين بحيث يكون طرف إحداهما ملاصقا لطرف الأخرى، فيكون الطول الكلي لهما هو مجموع طول كل منها.

تمثيل بياني على شكل مستقيم لعملية الجمع 2 + 4 = 6. إزاحة بمقدار اثنين فإزاحة بمقدار أربعة تكافئ إزاحة بمقدار ستة.

هناك تفسير آخر للجمع وهو مد طول قطعة ما بمقدار معين. وعندما يمتد الطول الأصلي بهذا المقدار، يكون الطول النهائي للقطعة هو الطول الأصلي مجموعا عليه طول الامتداد. ويمكن تصوير ذلك على خط الأعداد، فمثلا بالنسبة لعملية الجمع 2 + 4 = 6 فهي مكافئة للانتقال بمقدار 2 على خط الأعداد يتلوها الانتقال بمقدار 4، فيكون الناتج مساويا لانتقال بمقدار 6. وعلى هذا المنوال يمكن تفسير مجموع a + b عمليةً ثنائيةً تضيف مقدار b من الوحدات إلى a.

شكل يبين كون 4 + 2 = 2 + 4

الجمع عملية تبديلية. يعني هذا إمكانية عكس أماكن الحدود ويظل الناتج كما هو. مثلا 4 + 2 = 2 + 4. أو رمزيا a + b = b + a. عملية الضرب على سبيل المثال هي أيضا عملية تبديلية. ولكن ليست جميع العمليات الثنائية تبديلية. عمليتا الطرح والقسمة مثالان.

الجمع عملية تجميعية؛ أي عند جمع أكثر من عدد، فإنه يمكن وضع أقواس حول مجموع أي حدين أو أكثر حيث يدمجان معا ويضاف مجموعهما إلى باقي الحدود، ولا يحتلف الناتج باختلاف الحدود المدمجة. فمثلا: 2+(1+3) = (2+1)+3 وأيضا فإن a + b + c يمكن التعبير عنها: a + b) + c) أو (a + (b + c بدون اختلاف في الناتج. ليست جميع العمليات تجميعيةً. عملية الطرح، على سبيل المثال، ليست تجميعية. انظر إلى ترتيب العمليات الحسابية.

يسمى الصفر العنصر الحيادي للجمع لأنه إذا جمع مع أي عدد آخر يكون الناتج هو العدد نفسه. على سبيل المثال، ${\displaystyle 5=5+0}$ وبشكل عام، تكتب المعادلة كما يلي:

${\displaystyle a=a+0}$

يسمى a- المعاكس الجمعي لأنه إذا جُمع مع العدد a يكون الناتج هو العنصر المحايد للجمع وهو الصفر. كذلك العدد a هو المعاكس الجمعي للعدد a-. على سبيل المثال، 4- هو المعاكس الجمعي للعدد 4 و 4 هو المعاكس الجمعي للعدد 4- لأن ${\displaystyle -4+4=4+-4=0}$. تكتب المعادلة بشكل عام كما يلي:

${\displaystyle a+-a=-a+a=0}$

من أجل إضافة الكميات الفيزيائية بشكل صحيح لابد من أن يكون التعبير عن الحدود المجموعة بنفس الوحدات، فلا يمكننا إضافة 520 سم من طول الحبل مثلا إلى ثلاثة أمتار من طوله، فإذن لابد من تحويل أحدهما إلى الوحدة الأخرى. وأيضا لابد من ملاحظة أنه لا يمكن جمع كميات فيزيائية مختلفة، فلا يمكن جمع الوزن والطول معا في أي حال من الأحوال.

في الجبر الخطي، فضاء متجهي هو بنية جبرية تمكن من جمع المتجهات.

في الحسابيات النمطية، مجموعة الأعداد الطبيعية بتردد 12 هي مجموعة تحتوي على 12 عنصرا (من الصفر إلى 11). ومجموعة الأعداد الطبيعية بتردد 2 هي مجموعة تحتوي على عنصرين فقط هما الصفر والواحد. تُعرف عملية الجمع داخل هاته المجموعة باسم الجبر البولياني.