مبرهنة الساندويتش

رسم بياني للدالة ${\displaystyle x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ (بالأسود) و${\displaystyle x^{2}}$ (بالأحمر) و${\displaystyle -x^{2}}$ (بالأزرق).

النهاية التالية:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$

لا يمكن تحديده من خلال قانون النهاية:

${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$

لأن ${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ غير موجودة.

لكن، من خلال تعريف دالة الجيب:

${\displaystyle -1\leq \sin({\tfrac {1}{x}})\leq 1.}$

نستنتج بأن

${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})\leq x^{2}}$

بما أن ${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$

بتطبيق مبرهنة الساندويتش:

${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ يجب أن تكون 0 أيضًا.

هاتان الأمثلة ربما تكون أفضل الأمثلة المعروفة لإيجاد النهاية بالضغط (Squeeze):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos(x)}{x}}=0.\end{aligned}}}$

بتطبيق مبرهنة الساندويتش، تنتج أن:

${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin(x)}{x}}\leq 1}$[1]

و:

${\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos(x)}{x}}\leq x}$

تُستخدَم هاتين النهايتين لبرهان على حقيقة أن مشتق دالة الجيب هو دالة جيب التمام.