نهاية متتالية

متتالية أويلر

يكون العدد الحقيقي x، نهاية للمتتالية x_n إذا توفر الشرط التالي:

بالنسبة لأي عدد ε> 0، يوجد عدد طبيعي N حيث لكل عدد ${\displaystyle n\geq N}$، تتحقق المتراجحة ${\displaystyle |x_{n}-x|<\epsilon }$.

يظهر في الشكل رسم بياني لدالة مطابقة للمتتالية {x _n} = (1+1/n)ⁿ وهي نهاية منتهية ونهايتها

نها _{n ← ∞} {xn_{} == نها x ← ∞ (1+1/n)ⁿ == 2٫7182818}

يمثل الخطان القرمزى والبرتقالى مسافة هـ من قيمة المتتالية عند نقطة (n، x_n).

نهايات المتتاليات تتصرف بشكل طبيعي عندما يتعلق الأمر بالعمليات الحسابياتية. إذا توفر الشرطان ${\displaystyle a_{n}\to a}$ و${\displaystyle b_{n}\to b}$، فإن ${\displaystyle a_{n}+b_{n}\to a+b}$ و${\displaystyle a_{n}b_{n}\to ab}$، وإذا لم يكن b مساويا للصفر ولم تكن أي قيمة ل${\displaystyle b_{n}}$ مساوية الصفر، فإن ${\displaystyle a_{n}/b_{n}\to a/b}$.

و يلاحظ تطابق خواص نهايات المتتاليات مع مثيلاتها من خواص نهايات الدالات وكذلك خواص الاشتقاقات.

إذا كانت f دالة متصلة، وتوفر ${\displaystyle x_{n}\to x}$، فإن ${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$. بالفعل، تكون دالة ما متصلةً إذا وفقط إذا كانت تحافظ على نهايات المتتاليات.

لنفرض وجود x₁, x₂,... بشكل متتالية من العناصر في الفضاء الطوبولوجي T. نقول أن Lالمتمية ل;T هي نهاية هذه المتساسلة ونكتب

نها_{س ← ∞} س _ن = ل

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}$

إذا وفقط إذا كان :

من أجل كل جوار S من L يوجد هناك رقم N بحيث x_n ينتمي ل;S من أجل كل قيمة ل n>N.