عدد طبيعي

لم يعتبر العديد من علماء الرياضيات الإغريق الواحد عددا. فبالنسبة إليهم، اثنان هو أصغر عدد.

العدد الصحيح إن كان له نصف صحيح أي غير منكسر فزوج، كالعشرة، وإلا ففرد، كالثلاثة. نقول أن عددان لهما نفس الزوجية سواء إذا كانا زوجيين معا أو فرديين معا.

• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين لهما نفس الزوجية، عدد زوجي.
  • عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي، مثال: ${\displaystyle 10=4+6\,}$.
  • عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي، مثال: ${\displaystyle 8=3+5\,}$.
• ينتج عن عملية الجمع أو الطرح بين عددين ليس لهما نفس الزوجية، عدد فردي.
  • عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي، مثال: ${\displaystyle 9=4+5\,}$.
• ينتج عن عملية الضرب بين عددين زوجيين، عدد زوجي. مثال: ${\displaystyle 8=4\times 2\,}$.
• ينتج عن عملية الضرب بين عددين فرديين، عدد فردي. مثال: ${\displaystyle 21=7\times 3\,}$.
• ينتج عن عملية الضرب بين عدد زوجي وعدد فردي، عدد زوجي. مثال: ${\displaystyle 10=5\times 2\,}$.

عملية القسمة تتعلق بالبسط والمقام:

• إذا كان البسط زوجياً والمقام فردياً سنحصل على عدد زوجي أو عدد كسري.
  • أمثلة : ${\displaystyle {\frac {8}{3}},4={\frac {12}{3}}\,}$.
• إذا كان البسط فردياً والمقام زوجياً سنحصل على عدد كسري دائماً.
  • أمثلة: ${\displaystyle {\frac {3}{4}},{\frac {7}{2}}\,}$.
• إذا كان البسط والمقام زوجيين سنحصل على عدد زوجي أو عدد فردي أو عدد كسري.
  • أمثلة: ${\displaystyle {\frac {4}{14}},3={\frac {6}{2}},4={\frac {8}{2}}\,}$.
• إذا كان البسط والمقام فرديين سنحصل على عدد فردي أو عدد كسري.
  • أمثلة: ${\displaystyle {\frac {11}{5}},3={\frac {9}{3}}\,}$.

هناك أكثر من خمسة عشر اختبارا لمعرفة هل عدد معين ما أولي أم لا.

الغرابيل

خوارزمية بسيطة لعالم رياضيات اليونانية إراتوستينس لإيجاد جميع الأعداد الأولية حتى العدد 120. (انقر لرؤية الرسوم المتحركة).

كل خوارزمية تمكن من إيجاد جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما تسمى غربالا. أقدم مثال على ذلك غربال إراتوستينس لكنه لا يستعمل إلا في حالة الأعداد الصغيرة. غربال أتكين أحدث منه ولكنه أكثر منه تعقيدا ولهذا فهو أكثر منه سرعة.

${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}}$

${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{1}=\mathbb {N} _{>0}=\{1,2,\ldots \}.}$

لعملتي الجمع (+) والضرب (×) على الأعداد الطبيعية مجموعة من الخصائص الجبرية:

• الانغلاق بعمليتي الجمع والضرب: مهما كان a و b عددين طبيعيين، فإن كلا من a + b و a × b هما عددان طبيعيان.
• التجميعة، الجمع والضرب عمليتان تجميعيتان: مها كانت a و b و c أعدادا طبيعية، فإن a + (b + c) = (a + b) + c وa × (b × c) = (a × b) × c.
• التبادلية، الجمع والضرب عمليتان تجميعيتان في مجموعة الأعداد الطبيعية: تغيير مكان الطرفين في العملية لا يغير النتيجة :a + b = b + a وa × b = b × a.
• وجود العناصر المحايدة، صفر هو العنصر الحيادي لعملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد جمع عدد وصفر هو نفس العدد. a + 0 = a. الواحد (1) هو العنصر المحايد لعملية الضرب في مجموعة الأعداد الطبيعية: النتيجة (أو الحاصل) بعد ضرب عدد وواحد هو نفس العدد. a × 1 = a.
• توزيعية عملية الضرب على عملية الجمع في مجموعة الأعداد الطبيعية :a × (b + c) = a × b + a × c
• لا وجود لقواسم الصفر، إذا كان a و b عددين طبيعيين حيث 0 = a × b فإن a = 0 أو b = 0.

• أي عدد أولي أكبر من 3 يكتب على شكل 6k+1 أو 6k-1 حيث k عدد طبيعي.
• كل عدد صحيح n > 1 له قاسم أولي.
• إذا كان n عدداً مؤلفاً (غير أولي) فإن له قاسم أولي p أصغر أو يساوي الجذر التربيعي ل n.
• إذا كان الفرق بين عددين أوليين مساويا ل 2، فهذان العددان يسميان توأما أوليا. 5 و 7 من جهة و 11 و 13 من جهة ثانية، هما توأمان أوليان.
• ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين حيث b غير منعدم

نقول إن العدد a مضاعف للعدد b إذا وفقط إذا وجد عدد صحيح طبيعي k حيث a=bk

• لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم ما لنهاية من المضاعفات
• للعدد 0 مضاعف وحيد هو 0*المضاعف المشترك الأصغر*

ليكن a و b عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين المضاعف المشترك الأصغر للعددين a و b هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم للعددين a و b نرمز له بالرمز ppcm

تملك الأشياء والحيوانات خاصية مشتركة : في سلة ما، كلّ التفاحات منفصلة وتتشابه بعض الشيء. في قطيع غنم، تتشابه الحيوانات وهي منفصلة.

لذا ظهرت أشياء لا توجد في الحقيقة، يمكن تغيير أمكانها في ما بينها. هي أشياء لا علاقة لها بالحقيقة، لا توجد إلاّ في الخيال. لذا سنكتب «واحد 1» «اثنان 2» «ثلاثة 3»... ثلاثة ماذا؟ ثلاثة من هذه الأشياء التي اخترعناها ولا وجود لها، ثلاثة «وحدات».

و لو افترضنا أنّ أ هو عدد التفاحات وج هو عدد الأغنام، هذان العنصران يمكن التعامل معهما رياضيًّا مهما كانت الأشياء التي تمثلها.

لقد وجدنا إذا خاصية مهمّة وهي خاصية المجموعات العدودة) ولقد اخترعنا عدادا خياليا لا يملك إلا هذه الخاصية. وهذا الشيء هو الوحدة.

يُدعى هذا التمرين الفكري التجريد. نُجرّد الشيء من صفته ليصبح كميّة فقط.

حدسية غولدباخ

حدسية غولدباخ تنص على أن كل عدد صحيح طبيعي زوجي أكبر من 2 يمكن كتابته على شكل مجموع عددين أوليين. (ملاحظة: هذه الحدسية لم تُثبت بعد).

الأعداد المثالية

العدد المثالي هو عدد طبيعي يساوي مجموع قواسمه بما فيها 1، اكتشف ما يزيد على 40 عدد زوجي مثالي (أصغر عدد زوجي مثالي هو 6 حيث 6 = 1+2+3)، ولا يعرف أيوجد عدد فردي مثالي أم لا؟ عدد مثل هذا يجب أن يكون أكبر من ${\displaystyle 10^{300}}$.

الأعداد الأولية

العدد الأولي الزوجي الوحيد هو 2 وبقية الأعداد الأولية الأخرى فردية.

تحليل العدد الصحيح هو عملية تفكيكه إلى جداء عوامله الأولية، أي كتابة هذا العدد على شكل جداء أعداد أولية، بحيث يكون حاصل ضربها مساوٍ للعدد الأصلي. مثلا: تحليل العدد 45 هو 3²·5.

أمثلة أخرى:

11 = 11
25 = 5 × 5 = 5²
125 = 5 × 5 × 5 = 5³
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5

• التمثيل القانوني لعدد صحيح موجب
• مجموعة قابلة للعد
• عدد صحيح

في كومنز صور وملفات عن: عدد طبيعي

• بوابة رياضيات
• بوابة نظرية الأعداد