مبرهنة منصف الزاوية
في الهندسة الرياضية، مبرهنة أو نظرية منصف زاوية هي مبرهنة في المثلث تعطي العلاقة بين طول الضلع المقابل لأي زاوية إلى طول الضلعين الباقيين.[1] وتنص على أنه في المثلث ABC، إذا كان AD منصف للزاوية A وكانت D نقطة تقاطع AD مع BC فإن:
![](../I/%D9%85%D9%86%D8%B5%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D8%A9.png.webp)
تعميم المبرهنة
مبرهنة مُنصّف الزّاوية هي حالة خاصّة من القانون النّاص على أنه: في المثلث ABC، إذا كان AD يقطع BC في D ويقسم الزاوية A إلى و فإن:
وعندما تصبح مبرهنة منصف الزاوية.
البراهين
البرهان الأول
![](../I/Triangle_ABC_with_bisector_2.png.webp)
باستخدام قوانين مساحة المثلث:
1- مساحة المثلث ADC
2- مساحة المثلث ADB
بقسمة 2 على 1 نصل إلى:
و إذا كان AD منصف الزاوية A ستحقق المبرهنة و ذلك لأن .
البرهان الثاني
![](../I/%D9%85%D9%86%D8%B5%D9%81_%D8%A7%D9%84%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D8%A9.png.webp)
باستخدام قانون الجيوب:
في المثلث ADC:
في المثلث ADB:
و (Sin x = Sin (180-x. و إذا كانت سنصل إلى مبرهنة منصف الزاوية.
البرهان الثالث
![](../I/Triangle_ABC_with_bisector_3.png.webp)
برهان هندسي، باستخدام تشابه المثلثات:
ِAD منصف الزاوية A، نسقط عمود من B على AD يقطعه في F، ونسقط عمود من C على امتداد AD يقطعه في E.
المثلث AEC يشابه المثلث AFB
( لأن E و F قائمتان و لأن AD منصف A)
المثلث DEC يشابه المثلث DFB
( لأن E و F قائمتان و للتقابل بالرأس)
انظر أيضاً
مراجع
- "معلومات عن مبرهنة منصف الزاوية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 10 أغسطس 2019. الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة)
- بوابة رياضيات