دوال زائدية

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية [1] (بالإنجليزية: Hyperbolic functions)‏ في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط $(cos t, sin t)$ دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط $(cosh t, sinh t)$ النصف الأيمن من القطع الزائد.[2][3][4]

شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد

\scriptstyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1

في النقاط

\scriptstyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)

, حيث

\scriptstyle a

تكون المساحة بين الشعاع، وانعكاسه بالنسبة للمحور

\scriptstyle x

، والقطع الزائد

صورة متحركة للدوال المثلثية (الدائرية) والدوال الزائدية. باللون الأحمر، منحنى معادلته x² + y² = 1 (دائرة الوحدة)، وبالأزرق x² - y² = 1 (القطع الزائد)، مع النقاط (cos(θ),sin(θ)) و (1,tan(θ)) باللون الأحمر و (cosh(θ),sinh(θ)) و (1,tanh(θ)) باللون الأزرق.

تظهر الدوال الزائدية في حلول العديد من المعادلات التفاضلية الخطية (على سبيل المثال، المعادلة التي تحدد سلسلي)، وبعض المعادلات التكعيبية، في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية، ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية. تعتبر معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية، ونقل الحرارة، وجريان الموائع، والنسبية الخاصة.

تشكل الدوال الآتية الأساس في الدوال الزائدية:

الجيب الزائدي ويُرمز لها بـ sinh أو sh
جيب التمام الزائدي ويُرمز لها بـ cosh أو ch

والدوال المشتقة منهما هن:

الظل الزائدي ويُرمز لها بـ tanh أو th
ظل التمام الزائدي ويُرمز لها بـ coth
القاطع الزائدي ويُرمز لها بـ sech
قاطع التمام الزائدي ويُرمز لها بـ csch

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:

معكوس الجيب الزائدي ويُرمز لها بـ arsinh أو argsh
معكوس جيب التمام الزائدي ويُرمز لها بـ arcosh أو argch
... وهكذا.

تأخذ الدوال الزائدية مدخل حقيقي يسمى الزاوية الزائدية. مقدار الزاوية الزائدية ضعف مساحة قطاعها الزائدي. يمكن تعريف الدوال الزائدية بدلالة ساقي المثلث القائم الذي يغطي هذا القطاع.

في التحليل المركب، تنشأ الدوال الزائدية كأجزاء تخيلية لدالتي الجيب وجيب التمام. الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي دوال كاملة. ونتيجة لذلك، فإن الدوال الزائدية الأخرى دوال جزئية الشكل في المستوي المركب بأكمله.

حسب مبرهنة ليندمان-فايرشتراس، للدوال الزائدية قيمة متسامية لكل قيمة جبرية غير صفرية للمدخل.[5]

أُدخلت الدوال الزائدية في ستينيات القرن الثامن عشر بشكل مستقل من قبل فينتشنزو ريكاتي ويوهان هاينغيش لامبرت.[6] استخدم ريكاتي الترميزات: $Sc.$ و $Cc.$ (sinus/cosinus circulare) للإشارة إلى الدوال الدائرية (المثلثية) و $Sh.$ و $Ch.$ (sinus/cosinus hyperbolico) للإشارة إلى الدوال الزائدية. اعتمد لامبرت الأسماء لكنه غير الاختصارات إلى تلك المستخدمة اليوم.[7] تستخدم حاليًا الاختصارات $sh, ch, th, cth$ بناءً على التفضيل الشخصي.

سبب التسمية

تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا. كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط $\cos(t),\sin(t)\,$ دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط $\cosh(t),\sinh(t)\,$ تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد. تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.

تعريفات

هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية.

بدلالة الدوال الأسية

sinh, cosh و tanh

csch, sech و coth

الدوال الزائدية هي:

الجيب الزائدي:

\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}

جيب التمام الزائدي:

\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}

الظل الزائدي:

\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}

ظل التمام الزائدي:

\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}

القاطع الزائدي:

\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}

قاطع التمام الزائدي:

\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}

يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر. لاحظ أنه من التعريف, ${\rm {sinh}}^{2}x\,$ تعني $({\rm {sinh}}x)^{2}\,$ , ليس ${\rm {sinh}}({\rm {sinh}}x)\,$ ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

بواسطة المعادلات الفاضلية

يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان $(s, c)$ للجملة:

{\begin{aligned}c'(x)&=s(x)\\s'(x)&=c(x)\end{aligned}}

بحيث $s (0) = 0$ و $c (0) = 1$ .

وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة $f ″(x) = f (x)$ , بحيث $f (0) = 1$ , $f'(0) = 0$ بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و $f (0) = 0$ , $f'(0) = 1$ بالنسبة للجيب الزائدي.

الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad

بواسطة الدوال المثلثية لعدد مركب

يمكن استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية لعدد مركب:

الجيب الزائدي:

\sinh x=-i\sin(ix)

جيب التمام الزائدي:

\cosh x=\cos(ix)

الظل الزائدي:

\tanh x=-i\tan(ix)

ظل التمام الزائدي:

\coth x=i\cot(ix)

القاطع الزائدي:

\operatorname {sech} x=\sec(ix)

قاطع التمام الزائدي:

\operatorname {csch} x=i\csc(ix)

حيث $i$ وحدة تخيلية معرفة بأنها $i 2 = -1$ .

ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر.

تعريف بواسطة التكامل

يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:[8]

{\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}

متطابقات

في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة أوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي.

الدوال الزوجية والفردية:

{\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}

ومنهم:

{\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}

وبالتالي، cosh x و sech x هي دوال زوجية؛ بينما الدوال الأخرى هي دوال فردية.

تلبي دالتا جيب وجيب التمام الزائديان:

{\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}

تشبه الأخيرة متطابقة فيثاغورس المثلثية.

لدينا أيضا:

{\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\end{aligned}}

بالنسبة إلى الدوال الأخرى.

صيغ الجمع

{\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}

لدينا أيضا:

{\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}

صيغ ضعف العمدة

{\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}

صيغ الطرح

{\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}

أيضا:

{\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}

صيغ نصف العمدة

{\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh(x)}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}

حيث $sgn$ هي دالة الإشارة.

إذا كان $x \neq 0$ ، فإن:

\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x

الدوال العكسية في صور لوغاريتمية

مقالة مفصلة: دوال زائدية عكسية

\operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)

\operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1

\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}};\left|x\right|<1

\operatorname {arsech} x=\ln {\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}};0<x\leq 1

\operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)

\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}};\left|x\right|>1

المشتقات

{\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,

{\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,

{\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,

{\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,

{\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} (x)=-\coth(x)\ \operatorname {csch} (x)\,

{\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} (x)=-\tanh(x)\ \operatorname {sech} (x)\,

{\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}

{\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}

{\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}

{\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}

{\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}

{\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}

تكاملات قياسية

مقالة مفصلة: قائمة تكاملات الدوال الزائدية

\int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C

\int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C

\int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C

\int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C

\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0

\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C

\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C

\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}

\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}

\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C

\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C

في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.

تعابير متسلسلات تايلور

من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:

\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}

\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}

\tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

\coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi

(متسلسلة لوران)

\operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}

\operatorname {csch} \,x=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =x^{-1}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi

(متسلسلة لوران)

حيث

B_{n}\,

هي عدد بيرنولي رقم n

E_{n}\,

هي عدد أويلر رقم n

المقارنة مع الدوال المثلثية

القطاع الدائري (بالأصفر) وا لقطاع الزائدي (الشكل الأحمر + الشكل الأصفر). الدائرة والقطع الزائد الذي يمسها عند (1,1) يعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مساحة القطاع الدائري u والدوال الزائدية اعتمادًا على مساحة ا لقطاع الزائدي u.

تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.

بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r²u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية.

يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا $\sqrt2$ مرة الدوال الدائرية والزائدية.

الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى الدوران الزائدي ^{[الإنجليزية]}، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران الدائري.

تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي $\operatorname {gd} x=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)$ ) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة.

الرسم البياني للدالة $cosh (x / a)$ هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.

علاقاتها بالدوال الأسية

تحليل الدالة الأسية في أجزائها الزوجية والفردية يعطي المتطابقات التالية:

e^{x}=\cosh x+\sinh x\!

تشبه الأولى صيغة أويلر.

e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!

بالإضافة إلى

e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}

الدوال الزائدية للأعداد المركبة

لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل.

وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:

e^{ix}=\cos x+i\;\sin x

e^{-ix}=\cos x-i\;\sin x

وعليه:

{\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}

وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة $2\pi i$ ( $\pi i$ بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين).

إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.

**دوال زائدية في المستوى المركب**

$\operatorname {sinh} (z)$	$\operatorname {cosh} (z)$	$\operatorname {tanh} (z)$	$\operatorname {coth} (z)$	$\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {csch} (z)$

تطبيقات الدوال الزائدية

لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.

تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.

انظر أيضًا

مراجع

ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (2007-01-01). قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي. دار الكتب العلمية. ISBN 978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (الطبعة 1., corr. Springer). New York: Springer-Verlag. صفحة 416. ISBN 3-540-90694-0. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
"math.stackexchange.com/q/1565753/88985". ستاك إكستشينج (mathematics). مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 24 يناير 2016. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
tanh نسخة محفوظة 31 أكتوبر 2017 على موقع واي باك مشين.
Niven, Ivan (1985). Irrational Numbers. 11. Mathematical Association of America. ISBN 9780883850381. JSTOR 10.4169/j.ctt5hh8zn. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
N.P., Bali (2005). Golden Integral Calculus. Firewall Media. صفحة 472. ISBN 81-7008-169-6. مؤرشف من الأصل في 22 يونيو 2013. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

بوابة تحليل رياضي
بوابة رياضيات

في كومنز صور وملفات عن: دوال زائدية

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (2007-01-01). قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي. دار الكتب العلمية. ISBN 978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 20 فبراير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[2] Martin, George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (الطبعة 1., corr. Springer). New York: Springer-Verlag. صفحة 416. ISBN 3-540-90694-0. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[3] "math.stackexchange.com/q/1565753/88985". ستاك إكستشينج (mathematics). مؤرشف من الأصل في 18 ديسمبر 2019. اطلع عليه بتاريخ 24 يناير 2016. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[4] tanh نسخة محفوظة 31 أكتوبر 2017 على موقع واي باك مشين.

[5] Niven, Ivan (1985). Irrational Numbers. 11. Mathematical Association of America. ISBN 9780883850381. JSTOR 10.4169/j.ctt5hh8zn. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

[6] Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.

[7] Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.

[8] N.P., Bali (2005). Golden Integral Calculus. Firewall Media. صفحة 472. ISBN 81-7008-169-6. مؤرشف من الأصل في 22 يونيو 2013. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)