معادلة تكعيبية

تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}$ بدلالة معاملاتها ${\displaystyle a,b,c,d\,}$ كما يلي:

عدد جذور دالة تكعيبية الحقيقية والمركبة يحدد بحساب مميز المعادلة التكعيبية كما يلي:

${\displaystyle \Delta =18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.}$

• إذا كان Δ > 0، فإن للمعادلة ثلاثة جذور مختلفة الواحدة منها عن الأخريين.
• إذا كان Δ = 0، فإن للمعادلة جذرا متكررا وأن جميع حلول المعادلة حقيقية.
• إذا كان Δ < 0، فإن للمعادلة جذرا حقيقيا وجذرين أخريين مركبين الواحد منهما مرافق للآخر.

تعطى الصيغة العامة لجذور معادلة الدرجة الثالثة، ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}$ بدلالة معاملاتها ${\displaystyle a,b,c,d\,}$ كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&-{\frac {b}{3a}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&-{\frac {1}{3a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{2}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\x_{3}=&-{\frac {b}{3a}}\\&+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d+{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\\&+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{6a}}{\sqrt[{3}]{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d-{\sqrt {\left(2b^{3}-9abc+27a^{2}d\right)^{2}-4\left(b^{2}-3ac\right)^{3}}}}{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle u^{3}=-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}$

${\displaystyle v^{3}=-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}$

وبالتالي:

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}\qquad (4)}$

${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}\qquad (4)}$

الحل الحقيقي الوحيد هو ${\displaystyle t_{1}=u+v}$.

و حلان عقديان مترافقان:

• ${\displaystyle t_{2}=ju+{\bar {j}}v}$
• ${\displaystyle t_{3}={\bar {j}}u+jv}$

حيث ${\displaystyle j=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}}$

يوجد عدد عقدي u الذي هو جذر مكعب ل ${\displaystyle {\frac {-27q+3i{\sqrt {3}}{\sqrt {-\Delta }}}{2}}}$.

المعادلة تقبل ثلاث حلول حقيقية:

• ${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{3}}(u+{\bar {u}})}$
• ${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{3}}(ju+{\bar {j}}{\bar {u}})}$
• ${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{3}}(j^{2}u+{\bar {j^{2}}}{\bar {u}})}$

انظر إلى حالة غير قابلة للتبسيط (معادلات تكعيبية).

• ولما كانت t = v + u, t = x + a/3, وv = −p/3u, نجد

أن:

${\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u-{a \over 3}.}$

لاحظ أنه يوجد ثلاث حالات لحساب u في (4) وثلاث حالات لحساب v. ذلك لأن الجذر التكعيبي يحمل ثلاث احتمالات.

أولا، إذا كانت p = q = 0, فإنه لدينا ثلاثة جذور حقيقية

${\displaystyle t=0.\,}$

ثانيا، إذا كانت p = 0 وq ≠ 0, فإن:

${\displaystyle u=0{\text{ و }}v=-{\sqrt[{3}]{q}}.}$

ثالثا إذا كانت p ≠ 0 وq = 0 فإن:

${\displaystyle u={\sqrt {p \over 3}}\qquad {\mbox{و}}\qquad v=-{\sqrt {p \over 3}},}$

وفي أي من الحالات تكون الجذور الثلاثة هي:

${\displaystyle t=u+v=0,\qquad t=\omega _{1}u-{p \over 3\omega _{1}u}={\sqrt {-p}},\qquad t={u \over \omega _{1}}-{\omega _{1}p \over 3u}=-{\sqrt {-p}},}$

حيث

${\displaystyle \omega _{1}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}=-{\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

طريقة كاردان هي طريقة تمكن من حل جميع المعادلات من الدرجة الثالثة.

هذه الطريقة تكمن من استعمال صيغ كاردان المعطاة بدلالة ${\displaystyle {\mathcal {}}p}$ و${\displaystyle {\mathcal {}}q}$ حلول المعادلة: ${\displaystyle {\mathcal {}}x^{3}+px+q=0~}$. وهي تمكن من البرهنة على أن المعادلات من الدرجة 3 يمكن حلها جبريا.

قد تدمج هذه الحالة في حالة المميز الموجب. وقد تدمج أيضا في حالة الميز السالب. النتيجة لا تتغير. بتعويض Δ بقيمته المساوية للصفر في المعادلات السابقة الذكر، يصير للمعادلة حلا حقيقيا بسيطا هو ${\displaystyle t1=2*u=2{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {q}{2}}}}}$ وحل حقيقيا مزدوجا هو ${\displaystyle t2=-u=-{\sqrt[{3}]{-{\tfrac {q}{2}}}}}$.

الحلحلة الهندسية لمعادلة تكعيبية، التي قام بها عمر الخيام عندما يتوفر m = 2 n = 16، واجدا الجذر 2. تقاطع المستقيم العمودي مع محور الأفاصيل يعطي حلحلة للمعادلة.

من أجل حلحلة المعادلة x³ + m²x = n حيث n > 0، انشأ عمر الخيام قطعا مكافئا[ملاحظة 1] معادلته y = x²/m وانشأ دائرة قطرها هو القطعة [0, n/m²]، مرسوما على محور السينات.[ملاحظة 2] بعد ذلك رسم المستقيم العمودي الذي يمر من تقاطع الدائرة والقطع المكافئ. حلحلة المعادلة هي المسافة التي تفصل بين أصل المعلم وتقاطع هذا المستقيم العمودي مع محور السينات. انظر الشكل وبالتحديد إلى القطعة الأفقية الحمراء على محور الأفاصيل.

بالنسبة إلى معادلة تعكيبية ذات ثلاث جذور حقيقية، الجذور هي إسقاطات على محور الأفاصيل للرؤوس الثلاث لمثلث متساوي الأضلاع، رُسم على دائرة مركزها له نفس أفصول نقطة انعطاف هذه الدالة التكعيبية.

${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)}$

حيث ${\displaystyle k=0,1,2}$

• تثليث زاوية ومضاعفة المكعب معضلتان قديمتان في الهندسة، بُرهن على استحالة حلحلتهما باستعمال المسطرة والفرجار لأنها يكافئان حلحلة المعادلات من الدرجة الثالثة.
• جيب التمام لثُلث زاوية، حيث جيب التمام لهذه الزاوية ذاتها معلوم، هو حلحلة لمعادلة تكعيبية. تبقى هذا الخاصية صحيحة إذا بُدل الجيب التمام بدالة مثلثية أخرى.

انظر إلى معادلة شارلوت ^{[الإنجليزية]} في الكيمياء.