التناظر في ميكانيكا الكم

اصطلاحات الرموز المستخدمة في هذه المقالة هي كالتالي: تشير الحروف الكبيرة إلى المتجهات والكائنات ذات المتجهات الأربعة والمصفوفات ومؤثرات المتجهات بينما تستخدم الحالات الكمية رموز براكيت. تدل رموز القبعات الواسعة فوق الأحرف على المؤثرات، أما الصغيرة فهي تدل على متجهات الوحدة. يُستخدم ترميز أينشتاين للمؤشرات المرنة المتكررة ما لم يُفترض خلاف ذلك. رمز مينكوفسكي المتري هو (+ −−−).

فيما يلي نظرة عامة على مجموعة لورنتز التي تهتم بالسرعات والدورانات في الزمكان.[3][4]

يمكن تحديد تحويلات معاملات لورينتز بالسرعة φ للحركة في اتجاه متجه الوحدة ثلاثية الأبعاد ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})}$، وتحدد زاوية الدوران θ حول متجه الوحدة ثلاثية الأبعاد ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$ محور الدوران، وتمثل إذن المعادلات ${\displaystyle \varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})}$ و ${\displaystyle \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$ ستة معاملات في مجموعة لورنتز (ثلاثة معاملات للدوران وثلاثة للحركة)، وتشمل مجموعة لورنتز ستة أبعاد.

الدوران الصرف في الزمكان

تشكل مصفوفات الدوران ومولدات الدوران المذكورة أعلاه جزءًا مشابهًا للمصفوفة رباعية الأبعاد، والتي تمثل معاملات الدوران الصرف لدى لورنتز. العناصر الثلاثة لمجموعة لورنتز ${\displaystyle {\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}}$ والمولدات J = J₁, J₂, J₃ هي كالتالي:

${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

تعمل مصفوفات الدوران على أي متجه من المتجهات الأربعة (A = (A₀, A₁, A₂, A₃ وتقوم بتدوير مكونات المكان وفقًا للمعادلة:

${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$

يجري التعامل مع A عند نشر المصفوفة على أنه متجه عمودي مع ترك إحداثيات الوقت دون تغيير.

الحركة الصرفة في الزمكان

تعتبر الحركة مع السرعة ctanhφ في الاتجاهات x أو y أو z والمعطاة بواسطة المتجهات الديكارتية الأساسية ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$ مصفوفاتٍ متحولات الحركة. وتعتبر هذه المصفوفات ${\displaystyle {\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}}$ والمؤثرات المقابلة لها (K = (K₁, K₂, K₃ هي العناصر الثلاثة المتبقية في المجموعة ومولدات مجموعة لورنتز:

${\displaystyle {\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

تعمل مصفوفات الحركة على أي متجه من المتجهات الأربعة A = A₀, A₁, A₂, A₃ وتدمج مكونات الوقت ومكونات المكان وفقًا لما يلي:

${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$

يشير مصطلح الحركة إلى السرعة النسبية بين إطارين، ولا يجب الخلط بينه وبين القوة.

تتشكل زمرة بوانكاريه من مجموعة التناظر الانتقالي وتناظر الترجمة الزمنية والتناظر الدوراني والحركات معًا. إنَّ عناصر المجموعة هي مصفوفات الدوران الثلاث ومصفوفات الحركة الثلاث (كما هو الحال في مجموعة لورنتز)، وعنصر الترجمة الزمنية وثلاثة عناصر للترجمات المكانية في الزمكان. وهناك مولد لكل منهما. لذلك تتكون زمرة بوانكاريه من عشرة 10 أبعاد.

يمكن في النسبية الخاصة جمع المكان والزمان في متجه رباعي الموضع (X = (ct, −r، ويمكن أيضًا الجمع بين الطاقة والزخم في متجه رباعي الزخم P = (E/c, −p). يمكن الجمع بين المدة الزمنية ومعاملات الإزاحة المكانية مع أخذ ميكانيكا الكم النسبية بعين الاعتبار (عددها أربعة وهي واحدة للوقت وثلاثة للمكان) في إزاحة الزمكان ΔX = (cΔt, −Δr)، وتُدرج مؤثرات الطاقة والزخم في متجه رباعي للحصول على مؤثر الزخم الرباعي.

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\,,}$

وهي مولدات الترجمات الزمانية (عددها أربعة وهي واحدة للزمن وثلاثة للمكان):

${\displaystyle {\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat {\mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.}$

توجد علاقات بين المكونات ذات الزخم الرباعي P (مولدات ترجمات الزمكان) والزخم الزاوي M (مولدات تحولات لورنتز) التي تحدد معادلة بوانكاريه:[7][8]

• ${\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,}$

حيث η هو عامل مينكوفيسكي المتري. (من الشائع حذف أي شارات قبعات عن رموز مؤثرات الزخم الأربعة في علاقات المكونات). تعبّر هذه المعادلات عن الخصائص الأساسية للزمان والمكان. تمتلك المعادلات نظائر كلاسيكية تحتوي على أقواس بواسون.

تصف معادلة باولي- لبانسكي للمتجهات الدوران في ميكانيكا الكم النسبية

${\displaystyle W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$

يصف مؤثر كازيمير مساهمة الدوران المستمرة في الزخم الزاوي الكلي، وتوجد علاقات تربط بين P وW وبين M وW:

${\displaystyle \left[P^{\mu },W^{\nu }\right]=0\,,}$

${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu }W^{\mu }-\eta ^{\rho \mu }W^{\nu }\right)\,,}$

${\displaystyle \left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }\,.}$

يمكن استخدام متغيرات كازيمير بدلًا من المتغيرات التي استُخرجت من W لتصنيف النتائج غير القابلة للاختزال في زمرة لورينتز.

• K. J. Barnes (2010). Group theory for the standard model and beyond. Taylor & Francis. ISBN 142-007-874-7. مؤرشف من الأصل في 27 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• M. Chaichian; R. Hagedorn (1998). Symmetry in quantum mechanics: From angular momentum to supersymmetry. Institute of physic s (Bristol and Philadelphia). ISBN 0-7503-0408-1. مؤرشف من الأصل في 05 مارس 2016. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, 267, Springer, ISBN 978-1461471158 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, 222 (الطبعة 2nd), Springer, ISBN 978-3319134666 الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة); الوسيط |separator= تم تجاهله (مساعدة)CS1 maint: ref=harv (link)
• S. Haywood (2011). Symmetries and Conservation Laws in Particle Physics: An Introduction to Group Theory for Particle Physicists. World Scientific. ISBN 184-816-703-2. مؤرشف من الأصل في 27 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• M. F. C. Ladd (1989). Symmetry in molecules and crystals. Ellis Horwood series in physical chemistry. ISBN 0-85312-255-5. مؤرشف من الأصل في 27 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• W. Ludwig; C. Falter (1996). Symmetries in physics. (الطبعة 2nd). Springer. ISBN 3-540-60284-4. مؤرشف من الأصل في 05 مارس 2016. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• B. R. Martin, G.Shaw. Particle Physics (الطبعة 3rd). Manchester Physics Series, John Wiley & Sons. صفحة 3. ISBN 978-0-470-03294-7. مؤرشف من الأصل في 27 يناير 2020. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)
• D. McMahon (2008). Quantum Field Theory. Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-154382-8. الوسيط |CitationClass= تم تجاهله (مساعدة)

• (2010) Irreducible Tensor Operators and the Wigner-Eckart Theorem
• R.D. Reece (2006) A Derivation of the Quantum Mechanical Momentum Operator in the Position Representation^{[وصلة مكسورة]}
• D. E. Soper (2011) Position and momentum in quantum mechanics
• Lie groups
• F. Porter (2009) Lie Groups and Lie Algebras
• Continuous Groups, Lie Groups, and Lie Algebras
• P.J. Mulders (2011) Quantum field theory
• arXiv:math-ph/0005032v1 B.C. Hall (2000) An Elementary Introduction to Groups and Representations

• بوابة الفيزياء
• بوابة ميكانيكا الكم