مصفوفة الكثافة

كل طريقة حل يمكن كتابتها عن طريق سهم توجيه الحالة${\displaystyle {\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }}$${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$،والتي يمكن نشرها على قاعدة ${\displaystyle {\displaystyle \{|u_{n}\rangle \}}}$${\displaystyle {\displaystyle \{|u_{n}\rangle \}}}$: ${\displaystyle {\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\sum _{n}{c_{n}\left|u_{n}\right\rangle }},{\displaystyle \sum _{n}|c_{n}|^{2}=1\,}}$ والتي تمثلها بمصفوفة تعرف على الطريقة التالية:

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}=|\psi \rangle \langle \psi |=\sum _{n,p}c_{n}^{*}c_{p}|u_{p}\rangle \langle u_{n}|}}$

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}=|\psi \rangle \langle \psi |=\sum _{n,p}c_{n}^{*}c_{p}|u_{p}\rangle \langle u_{n}|}}$ هذه الصيغة الجديدة مطابقة تمامًا للصيغة السابقة. فنقول أن مصفوفات الكثافة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة نقية لأننا يمكن الحصول عليها أنطلاقا من سهم توجيه الحالة ${\displaystyle |\psi \rangle }$ و العكس بالعكس.

مثلما كان متوقعا في المقدمة، فإن مصفوفات الكثافة قادرة أيضاً على تمثيل الحالات التي كانت صياغتها عن طريق سهوم توجيه الحالات غير قادرة على وصفها .

وهي تتموقع في حالات مكونة أنطلاقا من حالات النقية من خلال

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}_{pn}=\sum _{i}p_{i}\langle u_{p}^{(i)}|{\hat {\rho }}_{i}|u_{n}^{(i)}\rangle =\sum _{i}p_{i}c_{n}^{(i)*}c_{p}^{(i)}},{\displaystyle p_{i}\geqslant 0~\forall i},}$

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}_{pn}=\sum _{i}p_{i}\langle u_{p}^{(i)}|{\hat {\rho }}_{i}|u_{n}^{(i)}\rangle =\sum _{i}p_{i}c_{n}^{(i)*}c_{p}^{(i)}},{\displaystyle p_{i}\geqslant 0~\forall i},}$ 

حيث يمكننا أن نبين أن ${\displaystyle p_{i}}$ هي أحتمال أن حالة يمكنها تواجد في حالة نقية i.

من السهل أن نرى أنه من المستحيل إعادة الكتابة ${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}_{pn}=|\xi \rangle \langle \xi |}}$حيث ${\displaystyle {\displaystyle |\xi \rangle }}$ هو سهم توجيه الحالة الخاصة بها.

نسمي مثل هده الحالة الخليط الأحصائي. الجانب الإحصائي هنا هو دو طبيعتين، واحدة كلاسيكية وأخرى كمية:

1.- الكلاسيكية: بسبب تقدير الكيت بواسطة توزيع إحصائي لمختلف الكيت الممكنة.

2. الكمية: عدم التيقن الكمي الأساسي حتى إذا تم تحديد النظام بشكل كامل.

التبيين:

 ${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}_{pn}=\sum _{i}p_{i}\langle u_{p}^{(i)}|{\hat {\rho }}|u_{n}^{(i)}\rangle =\langle u_{p}^{(i)}|(\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|)|u_{n}^{(i)}\rangle }}$

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}_{pn}=\sum _{i}p_{i}\langle u_{p}^{(i)}|(\sum _{p'}c_{p'}^{(i)}|u_{p'}^{(i)}\rangle )(\sum _{n'}c_{n'}^{(i)*}\langle u_{n'}^{(i)}|)|u_{n}^{(i)}\rangle }}$

${\displaystyle {\displaystyle \langle u_{n'}^{(i)}|u_{n}^{(i)}\rangle ={\begin{cases}1&n'=n\\0&sinon\end{cases}}}}$

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}}$

يمكن حساب معدل القيمة لملحوظة A من الصيغة التالية :

${\displaystyle {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle =Tr({\hat {A}}{\hat {\rho }})=Tr({\hat {\rho }}{\hat {A}})}}$

مع${\displaystyle {\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}^{N}p_{i}{\hat {\rho }}_{i}}}$ هي مصفوفة الكثافة للخليط الإحصائي للحالات.

التبيين:

نعتبر المزيج الأحصائي للحالات التالية:

${\displaystyle {\displaystyle |\Psi _{i}\rangle =\sum _{n}c_{n}^{(i)}|u_{n}^{(i)}\rangle }}$

${\displaystyle {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle \Psi _{i}|{\hat {A}}|\Psi _{i}\rangle =\sum _{i}p_{i}\sum _{n,p}c_{n}^{(i)*}c_{p}^{(i)}\langle u_{n}^{(i)}|{\hat {A}}|u_{p}^{(i)}\rangle }}$${\displaystyle {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}p_{i}\sum _{n,p}\langle u_{p}^{(i)}|{\hat {\rho }}_{i}|u_{n}^{(i)}\rangle \langle u_{n}^{(i)}|{\hat {A}}|u_{p}^{(i)}\rangle }}$

${\displaystyle {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}p_{i}Tr({\hat {\rho }}_{i}{\hat {A}})}}$

حيث :${\displaystyle {\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =Tr({\hat {A}}{\hat {\rho }})=Tr({\hat {\rho }}{\hat {A}})}}$

يتم إعطاء التطور الزمنيلسهم توجيه الحالة بواسطة معادلة شرودنجر المعتمدة على الوقت :

${\displaystyle {\displaystyle {\hat {H}}\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\Psi (t)\right\rangle }}$ 

من حيث مصفوفة الكثافة، لدينا معادلة ليوفيل -فون نيومان :

${\displaystyle {\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\rho }}]=i\hbar {d \over dt}{\hat {\rho }}}}$