استكمام لانداو

لحل هذه المشكلة مع القيم الذاتية، نبدأ بإعادة كتابة الهاميلتوني لإظهار تشابه مع المتذبذب التوافقي.

${\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {1}{2m}}\left[\left(P_{x}+iP_{y}\right)\left(P_{x}-iP_{y}\right)+i\left[P_{x},P_{y}\right]\right]\\&={\frac {\hbar Bq}{m}}\left[{\frac {\left(P_{x}+iP_{y}\right)\left(P_{x}-iP_{y}\right)}{2q\hbar B}}-{\frac {1}{2}}\right],\end{aligned}}}$

حيث استخدمنا حقيقة ${\displaystyle \left[P_{x},P_{y}\right]=iq\hbar B}$. ثم أدخلنا مشغلي الإيشيل المحدد ب

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {P_{x}+iP_{y}}{\sqrt {2q\hbar B}}},\quad a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle \\a^{\dagger }&={\frac {P_{x}-iP_{y}}{\sqrt {2q\hbar B}}},\quad a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \end{aligned}}}$

هذه المشغلات هي bosoniques، وبعبارة أخرى ${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=1}$ ورمز براكيت ${\displaystyle \left\{|n\rangle \right\}_{n=0,1,\dots }}$ على شكل قانون أساسي الهجائي. هذه التعاريف تسمح بكتابة هاميلتوني على نحو موجز كما

${\displaystyle H=\hbar \omega _{c}\left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)}$،

حيث قدمنا تردد سيكلوترون ${\displaystyle \omega _{c}=qB/m}$ لذلك هو مطابق ل المتذبذب التوافقي الكمي. والقيم الذاتية هي

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),\quad n\in [0,1,2\dots )}$.

وهذه الطاقة من مستويات لانداو، تم فهرستها من قبل مؤشر مستوى لانداو ${\displaystyle n}$. يهاجر الهاميلتوني مع ${\displaystyle p_{y}}$. وبالتالي فإن الحل وفقا ${\displaystyle y}$ هو نفسه من الإلكترونات الحرة، والدالة الموجية يمكن صياغتها على النحو التالي

${\displaystyle \psi (x,y)=e^{ik_{y}y}\langle x|n\rangle }$.