ضرب المصفوفات

ضرب مصفوفة في عدد ما لا يدخل في إطار ضرب المصفوفات. ضرب مصفوفة في عدد ما يعطي مصفوفة لها نفس أبعاد المصفوفة الأصلية حيث مداخلها تساوي مداخل المصفوفة الأصلية مضروبة في ذلك العدد. على سبيل المثال،

${\displaystyle 2*{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2*1&2*3\\2*1&2*0\\2*1&2*2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&6\\2&0\\2&4\end{bmatrix}}}$

عملية الضرب العادية المذكورة هنا هي الأكثر شيوعًا لدى استخدام المصفوفات وأكثرها أهميّة. عملية الضرب هذه تكون معرّفة بين المصفوفتين ${\displaystyle A}$ و${\displaystyle B}$ فقط إذا كان عدد أعمدة الأولى مساويًا لعدد الأسطر في الثانية. أي أنّ العملية معرّفة إذا كانت ${\displaystyle A}$ من درجة ${\displaystyle m\times n}$، و${\displaystyle B}$ من درجة ${\displaystyle n\times p}$، وتكون مصفوفة حاصل الضرب ${\displaystyle C=A\cdot B}$ من درجة ${\displaystyle m\times p}$. ووفق نفس المنطق، فإذا تمّ ضرب سلسلة من المصفوفات ذات درجات ${\displaystyle n_{1}\times n_{2}}$، ${\displaystyle n_{2}\times n_{3}}$ و${\displaystyle n_{k-1}\times n_{k}}$، فإنّ مصفوفة حاصل الضرب ستكون من درجة ${\displaystyle n_{1}\times n_{k}}$. من هنا، فإنّ ضرب المصفوفات ليست عملية تبديلية على الأطلاق، إذ قد لا يكون الضرب معرفًا أصلاً إذا ما استبدلت المصفوفتان.

في العملية ${\displaystyle C_{m\times q}=A_{m\times n}\cdot B_{n\times q}}$ يتم حساب كل عنصر في مصفوفة حاصل الضرب، بالطريقة الآتية:

${\displaystyle c_{i,j}=\sum _{k=1}^{n}a_{i,k}\cdot b_{k,j}}$.

أي أنّه لحساب العنصر الواقع في السطر i والعمود j من مصفوفة حاصل الضرب، يجب حساب الجداء الداخلي للمتجهين المكوّنين من السطر i من المصفوفة الأولى والعمود j من المصفوفة الثانية. ويوضح الرسم التالي تلك العملية :

${\displaystyle \overbrace {\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\color {Blue}a_{3,1}&\color {Blue}a_{3,2}&\color {Blue}a_{3,3}&\color {Blue}a_{3,4}\\\end{bmatrix}} ^{A_{3\times 4}}\overbrace {\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b_{1,4}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b_{2,4}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b_{3,4}&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b_{4,4}&\cdot \\\end{bmatrix}} ^{B_{4\times 5}}=\overbrace {\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &c_{3,4}&\cdot \\\end{bmatrix}} ^{C_{3\times 5}}}$

إذ يتحقّق:

${\displaystyle c_{{\color {Blue}3},\color {Red}4}={\color {Blue}a_{3,1}}\cdot {\color {Red}b_{1,4}}+{\color {Blue}a_{3,2}}\cdot {\color {Red}b_{2,4}}+{\color {Blue}a_{3,3}}\cdot {\color {Red}b_{3,4}}+{\color {Blue}a_{3,4}}\cdot {\color {Red}b_{4,4}}}$

• جداء ثلاثي
• ضرب متجهي
• قلب مصفوفة
• ضرب هادامار (ضرب المصفوفات)
• مصفوفة (رياضيات)

• كيفية ضرب متجهات بالإنجليزية.

• بوابة جبر
• بوابة رياضيات
• بوابة علم الحاسوب

في كومنز صور وملفات عن: ضرب المصفوفات