جداء ثلاثي
في الرياضيات، جداء ثلاثي (بالإنجليزية: Triple product) هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما "جداء ثلاثيا غير متجه" أو "جداء ثلاثيا متجها" وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء.
جداء ثلاثي غير متجه
![](../I/Parallelepiped_volume.svg.png.webp)
يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.
خواصه
- لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (a, b, c):
- استبدال المتجهين في الجداء الاتجاهي يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:
ترميزات مستخدمة أخرى
تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل : .
وكذلك : و .
شرح الخواص
عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:
- .
- ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات ، فمثلا ينطبق علي المعادلة :
ينطبق عليها أن يكون :
ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:
- حيث أن الضرب القياسي يكون عملية تبديلية، فنحصل على:
- .
أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.
- وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة :
- كما أنه نظرا إلى أن يكون :
- والضرب في كمية غير متجهة تنتج :
وهي عملية تسمى عملية تجميعية.
جداء ثلاثي متجه
يعرف الجداء الثلاثي المتجه بإنه ضرب اتجاهي لمتجه مضروبا في ضرب اتجاهي آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:
- .
تعرف المعادلة الأولى بأنها " معادلة لاجرانج" أو "الضرب الثلاثي الممتد" [1][2]
ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية الضرب قياسية (علامة الضرب "النقطية") .
ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في الفيزياء . ومن ضمنها معادلات التدرج - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات : [3]
حيث هي مؤثر لابلاس.
انظر أيضا
مراجع
- جوزيف لوي لاغرانج did not develop the cross product as an algebraic product on vectors, but did use an equivalent form of it in components: see Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". Oeuvres. vol 3. الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة) He may have written a formula similar to the triple product expansion in component form. See also Lagrange's identity and كيوشي إيتو (1987). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. صفحة 1679. ISBN 0-262-59020-4. الوسيط|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة) -
كيوشي إيتو (1993). "§C: Vector product". Encyclopedic dictionary of mathematics (الطبعة 2nd). MIT Press. صفحة 1679. ISBN 0-262-59020-4. مؤرشف من الأصل في 31 أكتوبر 2014. الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة) -
Pengzhi Lin (2008). Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists. Routledge. صفحة 13. ISBN 0-415-41578-0. مؤرشف من الأصل في 2 ديسمبر 2016. الوسيط
|CitationClass=
تم تجاهله (مساعدة)
وصلات خارجية
- بوابة رياضيات
- بوابة جبر