حقل (رياضيات)

بصيغه رياضية، الحقل هو عبارة عن مجموعة ${\displaystyle F}$ و عمليتين معرفة على هاتين المجموعتين تسمى بعملية الإضافة وعملية الضرب.[1] نعرف عملية ما على ${\displaystyle F}$ بالدالة ${\displaystyle F\times F\rightarrow F}$ ، أو بصيغة أخرى: هي دالة تربط كل عنصر من ${\displaystyle F}$ بكل بزوج ثنائي مرتب من عناصر نفس المجموعة المعرفة عليها. نتيجة إضافة العنصرين ${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$ يسمى جمع ${\displaystyle a}$ و والذي يرمز له بالرمز ${\displaystyle a+b}$ . بالمثل، ماينتج عن ضرب العنصرين ${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$ يسمى بحاصل ضرب العنصرين ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ ويرمز لهذه العملية بالرمز${\displaystyle a.b}$ أو ${\displaystyle ab}$. لابد لهاتين العمليتين أن تحقق الخصائص التالية والتي تسمى مسلمات الحقل. في هذه المسلمات العناصر ${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$ و${\displaystyle c}$ هي عناصر اختيارية من الحقل ${\displaystyle F}$ .

• خاصية التجميع لعملية الجمع ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$ وعملية الضرب ${\displaystyle a.(b.c)=(a.b).c}$ .
• خاصية التبديل لعملية الجمع ${\displaystyle a+b=b+a}$ وعملية الضرب ${\displaystyle a.b=b.a}$ .
• المحايد الجمعي والمحايد الضربي: يوجد عنصرين مختلفين ${\displaystyle 0}$ و ${\displaystyle 1}$ في ${\displaystyle F}$ بحيث أن ${\displaystyle a+0=a}$ و${\displaystyle a.1=a}$ .
• المعكوس الجمعي : لكل عنصر${\displaystyle a}$ في ${\displaystyle F}$ ، يوجد عنصر آخر في ${\displaystyle F}$ يرمز له بالرمز ${\displaystyle a^{-1}}$ والذي يسمى بالمعكوس الجمعي لـ ${\displaystyle a}$ بحيث أن ${\displaystyle a+(-a)=0}$.
• المعكوس الضربي: لكل عنصر غير صفري ${\displaystyle a\neq 0}$ في يوجد عنصر في ${\displaystyle F}$ يرمز له بالرمز ${\displaystyle a^{-1}}$ (أو ${\displaystyle {\frac {1}{a}}}$ ) يسمى بالمعكوس الضربي بشرط أن ${\displaystyle a.a^{-1}=1}$ .
• خاصية توزيع الضرب على الجمع: ${\displaystyle a.(b+c)=a.b+a.c}$.

يمكن تلخيص ذلك كما يلي: الحقل به عمليتين ضرب وجمع، وهو زمرة إبدالية بالنسبة لعملية الجمع والعنصر${\displaystyle 0}$ هو المحايد الجمعي وكل العناصر الغير صفرية تمثل زمرة إبدالية بالنسبة لعملية الضرب وله العنصر المحايد الضربي ${\displaystyle 1}$ . وايضا يحقق خاصية توزيع الضرب على الجمع.

يمكن تعريف الحقل بطريقة أخرى لكن له نفس المعنى. فمن الممكن تعريف الحقل بواسطة أربع عمليات ثنائية : الجمع والطرح والضرب والقسمة بخواصها المطلوبة. مستبعد من هذا التعريف القسمة على الصفر.[2] من أجل تجنب مشكلة الوجود، يمكن تعريف الحقول بواسطة عمليتين ثنائيتين (الجمع والضرب) وعمليتين أحاديتين ( وهما العمليات المعاكسة للجمع والضرب) وأيضا عمليتي المحايد ( nullary ) للعنصرين الثابتين ${\displaystyle 0}$ و${\displaystyle 1}$ . هذه العمليات تخضع أيضا للشروط المذكوره أعلاه. تجنب معايير الوجود مهمه في الرياضيات البنائية و الحوسبة.[3] ممكن أيضا تعريف الحقل بإستخدام نفس العمليتين الثنائيتين وعملية أحادية واحدة ( المعكوس الضربي) وعنصرين ثابتين هما ${\displaystyle 1}$ و ${\displaystyle -1}$ لأن ${\displaystyle 0=1+(-1)}$ و ${\displaystyle -a=(-1)a}$.[nb 1]

أستخدمت الأعداد النسبية بشكل أوسع قبل ظهور مفهوم الحقل بوقت طويل. وتعرف الأعداد النسبية بالأعداد التي يمكن كتابتها بشكل كسور ${\displaystyle a/b}$حيث أن ${\displaystyle a}$ و${\displaystyle b}$ هما أعداد صحيحة و${\displaystyle b\neq 0}$. المعكوس الجمعي لهذا الكسر هو ${\displaystyle -a/b}$ والمعكوس الضرب في حالة ${\displaystyle a\neq 0}$ يساوي ${\displaystyle b/a}$ والذي يحقق

${\displaystyle {\frac {b}{a}}.{\frac {a}{b}}={\frac {ba}{ab}}=1}$ .

الخصائص المطلوبة لأي حقل تنطبق أيضا على الأعداد النسبية. فعلى سبيل المثال خاصية التوزيع يمكن إثباتها كالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}.\left({\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}\right)&={\frac {a}{b}}.\left({\frac {c}{d}}.{\frac {f}{f}}+{\frac {e}{f}}.{\frac {d}{d}}\right)\\&={\frac {a}{b}}.\left({\frac {cf}{df}}+{\frac {ed}{fd}}\right)\\&={\frac {a}{b}}.{\frac {cf+ed}{df}}\\&={\frac {a(cf+ed)}{bdf}}={\frac {acf}{bdf}}+{\frac {aed}{bdf}}={\frac {ac}{bd}}+{\frac {ae}{bf}}\\&={\frac {a}{b}}.{\frac {c}{d}}+{\frac {a}{b}}.{\frac {e}{f}}.\\\end{aligned}}}$

حاصل ضرب عددين مركبين يمكن تمثيلها هندسيا بالدوران والمقياس.

مجموعة الأعداد الحقيقية ${\displaystyle \mathbf {R} }$ مزودةً بعمليتي الجمع والضرب المعتادتين تمثل حقلا. الأعداد المركبة ${\displaystyle \mathbf {C} }$ تتكون من أعداد بالصيغة ${\displaystyle a+b\,i}$

حيث ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle b}$ أعداد حقيقية و ${\displaystyle i}$ تمثل وحدة الجزء التخيلي وهو عدد غير حقيقي يحقق الشرط ${\displaystyle i^{2}=-1}$. تعرف عمليتي الجمع والضرب للأعداد المركبة بنفس عمليتي الجمع والضرب المعرفتين على الأعداد الحقيقية بشرط تحقيقها لشروط الحقل على مجموعة الأعداد المركبة . مثلا، خاصية التوزيع تحقق التالي:

${\displaystyle (a+b\,i)(c+d\,i)=ac+bc\,i+ad\,i+bd\,i^{2}=ac-bd+(bc+ad)\,i}$.

نظرية المتوسط الهندسي والتي تنص على أن ${\displaystyle h^{2}=pq}$ . بإختيار ${\displaystyle q=1}$ يسمح برسم الجذر التربيعي للرقم القابل للإنشاء المعطى ${\displaystyle p}$.

انظر عدد قابل للإنشاء وإلى مبرهنة طاليس

في العصور القديمة، تهتم العديد من المسائل الهندسي بمدى قابلية إنشاء أو تمثيل أعداد معينه بإستخدام الفرجار والمسطرة. فعلى سبيل المثال لم يكن معروفا لدى اليونانيين استحالة إيجاد ثلث زاوية معطاه بهذه الطريقة. لكن تم الآن حل مثل تلك المسائل مع وجود مايسمى بالأعداد قابلة للإنشاء. تعرف الأعداد الحقيقية القابلة للإنشاء بأنها أطوال لقطع مستقيمة بالاستعادة بنقاط الفتة من ${\displaystyle 0}$ إلى ${\displaystyle 1}$ بعدد من الخطوات المحددة فقط بإستخدام الفرجار والمسطرة. وبالإمكان استخدام عمليات حقل الأعداد الحقيقية بحصرها على الأعداد الإنشائية والتي تمثل حقل فعلي جزئي من حقل الأعداد النسبية Q . بالشكل الموضح هنا مثال يوضح أنه ليس بالضرورة أن عملية إنشاء الجذور التربيعية للأعداد الإنشائية تنتمي للمجموعة Q. التسمية الموجودة بالشكل تبين القطع المستقيمة ${\displaystyle AB}$ و${\displaystyle BD}$ و نصف الدائرة التي مركزها عندي النقطة${\displaystyle C}$ وقطرها ${\displaystyle AD}$ التي يتعامد عليها النقطة${\displaystyle F}$ بالزاوية القائمة عند ${\displaystyle B}$وبمسافة قدرها ${\displaystyle h={\sqrt {p}}}$ عندما يكون طول الضلع ${\displaystyle BD}$ يساوي واحد.

ليست كل الأعداد الحقيقية قابلة للإنشاء. فمثلا العدد ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ هو غير قابل للإنشاء، بمعنى أنه لايمكن تمثيل ضلع بمكعب حجمه يساوي ${\displaystyle 2}$ استخدام الفرجار والمسطرة.

بالإضافة إلى جمع أنظمة الأعداد المعروفه كالأعداد النسبية، يوجد نوع آخر ويمكن أثبات أنه يمثل حقل. المثال التالي يتكون من أربع عناصر هي ${\displaystyle O,I,A,B}$ . تم أختيار هذه الرموز بحيث أن العنصر ${\displaystyle O}$ يلعب دور المحايد الجمعي و ${\displaystyle I}$ يمثل المحايد الضربي. يمكن التحقق من مسلمات الحقل بإستخدام بعض نظريات الحقل أو مباشرة ببعض الحسابات. مثلا

${\displaystyle A.(B+A)=A.I=A}$ والتي تكافئ ${\displaystyle A.B+A.A=A}$ كما هو مطلوب بخاصية التوزيع.

يسمى هذا الحقل بحقل منتهي بأربع عناصر ويرمز بالرمز ${\displaystyle \mathbf {F} _{4}}$ أو ${\displaystyle GF(4)}$.[5] المجموعة الجزئية المكونه من ${\displaystyle O}$ و ${\displaystyle I}$ (المضلله بالأحمر في الجدول المرفق) تمثل أيضا حقل والذي يعرف بالحقل الثنائي ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ أو${\displaystyle GF(2)}$ . في علوم الحاسب و جبر بولياني غالبا مايستخدم الرمزين ${\displaystyle O}$ و${\displaystyle I}$ للدلالة على الخطأ والصواب على التوالي.

من التعريف لدينا ${\displaystyle a.0=0}$و ${\displaystyle -a=(-1)a}$.[6] أي أنه من الممكن اختصار رمز المعكوس الجمعي لأي عنصر بإستخدام الرقم ${\displaystyle -1}$ . إذا كان ${\displaystyle ab=0}$ فإنه إما ${\displaystyle a=0}$أو ${\displaystyle b=0}$ . وفي حالة ${\displaystyle ab=0}$ و ${\displaystyle a\neq 0}$ نستنتج أن

${\displaystyle 0=a^{-1}.0=a^{-1}(ab)=(a^{-1}a)b=b}$

وهذا يعني أن كل حقل هو مجال متكامل.

نسنتنتج من مسلمات الحقل أن الحقل هو زمرة إبدالية مع عملية الجمع. هذه الزمرة تسمى زمرة جمعيه للحقل والتي يرمز لها أحيانا بالرمز ${\displaystyle (F,+)}$ للحقل ${\displaystyle F}$.

بالمثل، تمثل عناصر الحقل غير الصفرية زمرة إبدالية مع عملية الضرب والتي تسمى زمرة ضربية. يرمز لهذه الزمرة بالرمز ${\displaystyle (F\setminus \{0\},.)}$ أو اختصارا بالرمز ${\displaystyle F^{*}}$.

يشترط بالحقل أن يكون ${\displaystyle 1\neq 0}$ وذلك لأن العنصر ${\displaystyle 1}$ هو عنصر وحدة لزمرة لاتحتوي على ${\displaystyle 0}$ . فبالتالي الحلقة التافهه التي تحتوي على عنصر واحد فقط لاتمثل حقل.

كل زمرة جزئية منتهية من زمرة ضربية لحقل هي زمرة دائرية.

وكما عرفنا عملية ضرب عنصرين من عناصرF ، فإنه من الممكن تعريف حاصل ضرب ${\displaystyle n.a}$ لأي عنصر اختياري ${\displaystyle a}$ من F و عدد صحيح موجب ${\displaystyle n}$ حيث أن الضرب يتم بالطريقة التالية

a + a + ... + a . ينتمي هذا الناتج أيضا إلى F .

إذا كان لايوجد عدد صحيح موجب ${\displaystyle n}$ بحيث أن n ⋅ 1 = 0 ، فإننا هنا نقول أن الحقل F به مميز ${\displaystyle 0}$( Characteristic ) في .[7] فمثلا يحتوي حقل الأعداد النسبية Q على مميز لأنه لايوجد عدد صحيح موجب ${\displaystyle n}$ يساوي صفر.

من جهة أخرى، إذا أمكن إيجاد عدد صحيح موجب ${\displaystyle n}$ يحقق هذه المعادلة n ⋅ 1 = 0 فإن أصغر قيمة لهذا العدد يمثل عدد أولي. وعادة مايرمز لهذا العدد بالرمز ${\displaystyle p}$ ونقول في هذه الحالة أن الحقل يحتوي على مميز${\displaystyle p}$. مثال على ذلك الحقل F₄ به مميز2 لأن I + I = O ( كما هو واضح بجدول الجمع المرفق هنا).

فبالتالي إذا كان الحقل F يحتوي على مميز${\displaystyle p}$ فإن p ⋅ a = 0 لكل ${\displaystyle a\in F}$. وهذا يعني أن

(a + b)^p = a^p + b^p

وذلك لأن جميع معاملات ذات الحدين في معادلة ذات الحدين قابلة للقسمة على ${\displaystyle p}$.

نعرف حقل جزئي ${\displaystyle E}$من الحقلF بأنه مجموعة جزئية من F والذي يمثل حقل بالنسبة للعمليات المعرفة بالحقل F. وهذا يعني أن المجموعة الجزئية ${\displaystyle E}$ من F تحتوي على ${\displaystyle 1}$ وتحقق خاصية الانغلاق بالنسبة لعمليتي الجمع والضرب وتحتوي على المعكوس الجمعي والمعكوس الضرب لجميع العناصر الغير صفرية.

بصيغة أخرى، فإن ${\displaystyle 1\in E}$ولكل ${\displaystyle a,b\in E,a\neq 0}$ فإن العناصر${\displaystyle a+b}$ و ${\displaystyle a.b}$ و${\displaystyle -a}$ و ${\displaystyle 1/a}$هم عناصر في ${\displaystyle E}$ .

يعرف تشاكل الحقل بإنه دالة f: E → F بين حقلين تحقق الشروط التالية لكل عنصرين اختياريين ${\displaystyle e_{1},e_{2}\in E}$

• f(e₁ + e₂) = f(e₁) + f(e₂)
• f(e₁e₂) = f(e₁)f(e₂)
• f(1_E) = 1_F.

جميع تشاكلات الحقل هي دوال متباينة.[8] وإذا كانت الدالة ${\displaystyle f}$ شامله فإنها تكون متماثلة ونقول في هذه الحالة أن الحقلين ${\displaystyle E}$ و${\displaystyle F}$ متماثلين.

يقال لأي حقل أنه حقل أولي (prime field ) إذا كان لايحتوي على أي حقل جزئي فعلي منه. أي حقل يحتوي على حقل أولي .

إذا كان مميز الحقل هو عدد أولي ${\displaystyle p}$ فإن الحقل الأولي له يمثل تشاكل للحقل المنتهي F_p (الذي سيعرف لاحقا)، ويكون الحقل الأولي تشاكل لحقل الأعداد النسبية فيما عدا ذلك.[9]