نسبة الإضمحلال

على سبيل المثال لنظام يتكون من كتلة معلقة بنابض شاقولي:

• في حالة إنعدام الخسار بالطاقة، يمكن للكتلة التأرجح إلى المالانهاية حيث أن سعة الإهتزاز أو إزاحتها عن موضع الإستقرار تكون متساوية بين كل ذبذبتين متعاقبتين، تسمى هذه الحالة (حركة غير مضمحلة).
• إذا كان للنظام خسارة طاقة عالية جداً، مثلاً عند إزاحة الكتلة عن موضع إستقرارها في سائل لزج، ستعود الكتلة إلى موضع إتزانها ببطء، وهذه الحالة تسمى (حركة فوق مضمحلة).
• بشكل عام، الكتلة ستتجاوز موضع إتزانها لكنها ستفقد مقداراً من الطاقة عند كل ذبذبة مما يجعل إزاحتها عن موضع إتزانها عند الذبذبة التالية أقل من سابقتها ويستمر فقدان الطاقة حتى تختفي الحركة وتستقر الكتلة عند موضع الإتزان، وهذه الحالة تسمى (حركة مضمحلة).
• مابين حالة فوق الإضمحلال والحركة المضمحلة يوجد مستوى معين حيث يفشل النظام في إنجاز ذبذبة واحدة وتعود الكتلة مباشرةً إلى موضع الإستقرار، تسمى هذه الحركة (الإضمحلال الحرج)، الفرق الرئيسي بين الإضمحلال الحرج وفوق الإضمحلال هو أن النظام في الحالة فوق الإضمحلال سيعود إلى نقطة إستقراره في أقل فترة زمنية ممكنة.

• 
  حركة توافقية بسيطة، من دون إضمحلال (${\displaystyle \zeta =0}$).
• 
  حركة توافقية مضمحلة، قيمة نسبة الإضمحلال (${\displaystyle \zeta <1}$).

شكل التردد لنظام يوصف بمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، لقيم مختلفة من نسبة الإضمحلال تتراوح بين 0 و 2.

يرمز إلى نسبة الإضمحلال عادة بالرمز (زيتا: ${\displaystyle \zeta }$)،[3] وهي مقدار مهم خاصة في نظرية التحكم، ودراسة المهتز التوافقي.

تعبر نسبة الإضمحلال رياضياً عن مستوى الإضمحلال في النظام نسبةً إلى الإضمحلال الحرج، لمهتز توافقي كتلته (${\displaystyle m}$)، ومعامل الإضمحلال (${\displaystyle c}$)، وثابت نابض (${\displaystyle k}$)، يمكن تعريف نسبة الإضمحلال بأنها النسبة بين معامل الإضمحلال في المعادلة التفاضلية للنظام على معامل الإضمحلال الحرج، كما يلي:

${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{c_{c}}},}$

${\displaystyle \zeta ={\frac {\text{actual damping}}{\text{critical damping}}},}$

ومعادلة الحركة للنظام تعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+c{\frac {dx}{dt}}+kx=0}$

ومعامل الإضمحلال الحرج يعطى بالشكل:

${\displaystyle c_{c}=2{\sqrt {km}}}$ أو ${\displaystyle c_{c}=2m{\sqrt {\frac {k}{m}}}=2m\omega _{n}}$

حيث أن: ${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ يمثل التردد الطبيعي للنظام المهتز.

لكون نسبة الإضمحلال هي نسبة بين مقدارين متماثلين بالوحدة فهي معامل خالي من الوحدات.

بإستخدام التردد الطبيعي لمهتز توافقي (${\displaystyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$) وتعريف نسبة الإضمحلال أعلاه يمكننا إعادة كتابة المعادلة بالشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{n}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{n}^{2}x=0}$

الحل التقريبي لهذه المعادلة يعطى بالشكل:

${\displaystyle x(t)=Ce^{st},}$

حيث أن ${\displaystyle C}$ و ${\displaystyle s}$ هما ثوابت معقدة، و قيمة ${\displaystyle s}$ المناسبة له تعطى بالشكل:

${\displaystyle s=-\omega _{n}\left(\zeta \pm i{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right)}$

تعطي هذه القيمة حلان مناسبان للمعادلة، يمكن ربطهما معاً لتكوين عدة حلول عامة حقيقية، لعدة حالات من الإضمحلال كما يأتي:

يمكن التعبير عن علاقة عامل النوعية أو إختصاراً (عامل ${\displaystyle Q}$)، بنسبة الإضمحلال، ومعدل الإضمحلال (${\displaystyle \alpha }$) بالمعادلة التالية:[4]

${\displaystyle \zeta ={\frac {1}{2Q}}={\alpha \over \omega _{n}}}$

عندما يكون النظام مضمحلاً (${\displaystyle \zeta <1}$)، يكون له قطبان معقدان مترافقان كل منهما يملك جزء حقيقي من ${\displaystyle -\alpha }$، حيث أن المعامل (${\displaystyle \alpha }$) يمثل معدل الإضمحلال الأسي للمهتزات، علاقته طردية مع نسبة الإضمحلال أي كلما كانت نسبة الإضمحلال أوطأ يكون معدل الإضمحلال أصغر، أي سيبقى النظام يهتز لوقت أطول،[5] على سبيل المثال: الشوكة الرنانة عالية الجودة ذات نسبة الإضمحلال المنخفضة جداً، يدوم إهتزازها لفترة طويلة، وتضمحل بشكل بطيء جداً بعد طرقها بمطرقة.

للمهتزات المضمحلة، يمكن ربط نسبة الإضمحلال بالتناقص اللوغاريتمي ^{[الإنجليزية]} الذي يرمز له (${\displaystyle \delta }$) عن طريق العلاقة:

${\displaystyle \qquad \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {2\pi }{\delta }}\right)^{2}}}}}$ حيث أن: ${\displaystyle \delta \triangleq \ln {\frac {x_{1}}{x_{2}}}\qquad }$

(${\displaystyle x_{1}}$) و(${\displaystyle x_{2}}$) هما سِعات الإهتزاز عند قمتين متتاليتين لحركة مضمحلة.

في نظرية التحكم، تجاوز الحد يشير إلى أن الخرج الناتج يتجاوز قيمته النهائية المستقرة ويتذبذب حولها قبل وصوله إلى الإستقرار،[6] ولإدخال درجي، تكون قيمة تجاور الحد المئوي إختصاراً (PO) مساوية للقيمة العظمى ناقصاً قيمة الخطوة مقسومة على قيمة الخطوة، في حالة قيمة عظمى مساوية لـ(${\displaystyle 100}$) يمكن أن يعطى مقدار تجاوز الحد المئوي بدلالة نسبة الإضمحلال (${\displaystyle \zeta }$) كما يلي:

${\displaystyle PO=100e^{-\left({\frac {\zeta \pi }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}}$

وعلى العكس من ذلك، يمكن أن نحصل على نسبة الإضمحلال بدلالة قيمة تجاوز الحد المئوي:

${\displaystyle \zeta ={\frac {-\ln \left({\frac {PO}{100}}\right)}{\sqrt {\pi ^{2}+\ln ^{2}\left({\frac {PO}{100}}\right)}}}}$

• بوابة الفيزياء
• بوابة هندسة ميكانيكية
• بوابة هندسة تطبيقية