هزاز توافقي

في هذا التمثيل ، الإزاحة عن نقطة التوازن y=x.

صيغة معادلة شرودنغر للهزّاز التوافقي تصف الجسيم على أنه موجة Ψ وتـُعطى بالعلاقة:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\cdot {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x^{2}}{2}}\Psi =E\Psi }$

وهذه المعادلة يمكن كتابتها بالشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi +{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E-{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}})\Psi =0}$

إنّ الاختلاف المهم بين معادلة حركة الهزّاز التوافقي ومعادلة شرودنغر الموجية لحركة جسيم (ممثل في حركة موجية) في حفرة كمومية يكمن في أنّه لايوجد هنا جدران تحد من الحركة، ولذلك ليس للهزّاز التوافقي شروط حديّة. نجد للمعادلة السابقة حلا ً عند قيم معيّنة للطاقة (E) منفصلة، ومجموع هذه القيم تـُسمى القيم الخاصّة eigen value لهذه المعادلة.

يحتاج حل المعادلة التفاضلية السابقة إلى معرفة جيدة بالرياضيات الخاصّة بالمعادلات التفاضليّة ولذلك نكتفي هنا بإعطاء نتيجة الحلِّ، حيث أنّ الطاقة كمومية وتُعطى بالعلاقة:

${\displaystyle E_{n}=(n+{\frac {1}{2}})\hbar \omega }$

حيث : n=0,1,2,3

ومن هذه العلاقة نرى أنّ طاقة الهزّاز التوافقي هي طاقة كموية ولها قيم منفصلة، والخطوة في طيف الطاقة هي (ħω).

نلاحظ أنّه عندما تكون 0=n ، يأخذ الهزّاز أدنى طاقة كمومية له وهي الحالة القاعية (الحالة الأرضية)، وهي : E_0=1/2. ħω

الأربعة حلول الأولى تعطى بالعلاقات ${\displaystyle (\Psi _{n}(x}$ ، حيث: n =0 ،1 ،2 ،3 ، وتنتج التوابع الموجيّة الآتية:

${\displaystyle \Psi _{0}(x)={\sqrt {\frac {b}{\sqrt {x}}}}\cdot e^{-b^{2}x^{2}/2}}$

${\displaystyle \Psi _{1}(x)={\sqrt {\frac {b}{2{\sqrt {x}}}}}\cdot 2bxe^{-b^{2}x^{2}/2}}$

${\displaystyle \Psi _{2}(x)={\sqrt {\frac {b}{8{\sqrt {x}}}}}\cdot (4b^{2}x^{2}-2)e^{-b^{2}x^{2}/2}}$

${\displaystyle \Psi _{3}(x)={\sqrt {\frac {b}{48{\sqrt {x}}}}}\cdot (4b^{2}x^{2}-2)e^{-b^{2}x^{2}/2}}$

حيث:

${\displaystyle b={\sqrt {m\omega /\hbar }}}$

${\displaystyle \hbar }$ هو ثابت بلانك

• رقاص
• معادلة شرودنغر
• ميكانيكا الكم
• جسيم في صندوق

في كومنز صور وملفات عن: هزاز توافقي

• بوابة الفيزياء
• بوابة ميكانيكا الكم