سرعة زاوية

الخضوع لحركة دائرية منتظمة حول محور ثابت يستوفي:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =W\cdot \mathbf {r} }$

بالنظر إلى مصفوفة التوجه (A(t لإطار، أعمدتها هي متجهات متعامدة متحركة ذات إحداثيات ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ ، يمكننا الحصول على موتر السرعة الزاوية (W(t كالتالي: يجب أن تكون السرعة الزاوية هي نفسها بالنسبة إلى المتجهات الثلاثة ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {e} _{i}}$ لذلك بعد ترتيب المعادلات المتجهية الثلاثة في أعمدة مصفوفة، لدينا:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=W\cdot A.}$ (هذا حتى لو (A(t لا تدور بشكل موحد). لذلك موتر السرعة الزاوية هو: ${\displaystyle W={\frac {dA}{dt}}\cdot A^{-1}={\frac {dA}{dt}}\cdot A^{\mathrm {T} },}$

بحيث معكوس المصفوفة المتعامدة، ${\displaystyle A}$ هو منقولها ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$.

في ثلاثة أبعاد، السرعة الزاوية يمكن تمثيلها بواسطة متجهة زائفة (pseudovector) لأن الموترات من الرتبة الثانية مزدوجة بالنسبة إلى المتجهات الزائفة (pseudovectors ) في ثلاثة أبعاد. حيث أن متوتر السرعة الزاوية (W=W(t عبارة عن مصفوفة منحرفة متماثلة:

${\displaystyle W={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}},}$

إنها مزدوجة هودج وهي متجهة، وهي بالضبط متجهة السرعة الزاوية السابقة ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]}$

إذا عرفنا الإطار الأولي (A(0 ولدينا سرعة موتر زاوية ثابتة W، يمكننا الحصول على (A(t لأي زمن t. نذكر معادلة المصفوفة التفاضلية:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=W\cdot A.}$

يمكن حساب تكامل هذه المعادلة لتعطينا:

${\displaystyle A(t)=e^{Wt}A(0),}$

مما يدل على وجود صلة مع مجموعة لي من الدورات.

نثبت أن موتر السرعة الزاوية هو انحراف متماثل، يعني ${\displaystyle W={\frac {dA(t)}{dt}}\cdot A^{\text{T}}}$ لتعطينا ${\displaystyle W^{\text{T}}=-W}$.

إن مصفوفة الدوران A متعامدة، عكس منقولها، إذا لدينا ${\displaystyle I=A\cdot A^{\text{T}}}$. لكل إطار مصفوفة ${\displaystyle A=A(t)}$. إزالة مشتق الزمن من المعادلة يعطينا:

${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+A{\frac {dA^{\text{T}}}{dt}}}$.

بتطبيق المعادلة ${\displaystyle (AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}}$.

${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+\left({\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=W+W^{\text{T}}}$.

وبالتالي W هو سلبي بالنسبة لمنقوله ، مما يعني أنه منحرف متماثل.

في أي لحظة t، موتر السرعة الزاوية يمثل خريطة خطية بين موضع المتجهة (r(t وسرعة المتجهات (v(t لنقطة على جسم صلب تدور حول الأصل:${\displaystyle \mathbf {v} =W\mathbf {r} .}$العلاقة بين هذه الخريطة الخطية ومتجهة السرعة الزاوية الزائفة ${\displaystyle \omega }$ هي كالتالي.

لأن w هو مشتق التحول المتعامد (orthogonal transformation)، الشكل الخطي:

${\displaystyle B(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )=(W\mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} }$

هو منحرف متماثل. وبالتالي يمكننا تطبيق حقيقة الجبر الخارجي بأن هناك شكلًا خطيًا فريدًا ${\displaystyle L}$ ل ${\displaystyle \Lambda ^{2}V}$ حيث:

${\displaystyle L(\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )=B(\mathbf {r} ,\mathbf {s} )}$

حيث أن ${\displaystyle \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} \in \Lambda ^{2}V}$ هو الناتج الخارجي ل ${\displaystyle \mathbf {r} }$ و${\displaystyle \mathbf {s} }$

نأخذ ^♯L لـ L تعطينا:

${\displaystyle (W\mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =L^{\sharp }\cdot (\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )}$

نعطي ${\displaystyle \omega$ :={\star }(L^{\sharp })} ، كمزدوجة هودج (Hodge dual) لـ ^♯L وبتطبيق تعريف مزدوجة هودج مرتين بافتراض أن الوحدة المفضلة ل 3 متجهات هو ${\displaystyle \star 1}$

${\displaystyle (W\mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ={\star }({\star }(L^{\sharp })\wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }(\omega \wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }(\omega \wedge \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =(\omega \times \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ,}$

بحيث: ${\displaystyle \omega \times \mathbf {r}$ :={\star }(\omega \wedge \mathbf {r} )} حسب التعريف.

لأن ${\displaystyle \mathbf {s} }$ متجهة اختيارية، من عدم انحلال للجداء العددي بالتالي:

${\displaystyle W\mathbf {r} =\omega \times \mathbf {r} }$

بما أن موتر سرعة الدوران الزاوية لجسم صلب (في إطارها الإفتراضي). هو تحويل خطي يضع المواضع على السرعات (داخل الجسم الصلب)، يمكن اعتبارها مجال متجهي ثابت، على وجه الخصوص ، السرعة الزاوية لللف (الغزل) هي مجال متجهي قاتل ينتمي إلى عنصر من عناصر جبر لي (SO(3 لمجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد (SO(3.

أيضًا ، يمكن إثبات أن المجال المتجهي للسرعة الزاوية الدورانية هو بالضبط نصف دوران مجال متجه السرعة الخطية (v(r لجسم صلب، بالأرقام:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {s} }$