مجموعة كثيفة

باعتبار ${\displaystyle X}$ فضاء طوبولوجيا و ${\displaystyle A\subset X}$ جزءا منه، يكون ${\displaystyle A}$ كثيفا داخل ${\displaystyle X}$ ويقال أيضا ${\displaystyle A}$ كثيف في كل مكان، إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:

• كل مجموعة مفتوحة غير فارغة في ${\displaystyle X}$ تضم عناصر من ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle X}$ هي غالق ${\displaystyle A}$ .
• كل نقطة في ${\displaystyle X}$ هي ملاصقة ل ${\displaystyle A}$
• مكملة ${\displaystyle A}$ داخلها فارغ

باعتبار ${\displaystyle E}$ فضاء متجهيا معياريا و ${\displaystyle D\subset E}$ جزءا منه، يكون ${\displaystyle D}$ كثيفا داخل ${\displaystyle E}$ إذا تحققت إحدى الخصائص المتكافئة التالية:[1]

• لكل نقطة ${\displaystyle x\in E}$ توجد متتالية ${\displaystyle (y_{n})}$ معرفة في ${\displaystyle D}$ تؤول في مالانهاية إلى ${\displaystyle x}$
• لكل نقطة ${\displaystyle x\in E}$ و كل ${\displaystyle \epsilon >0}$ يوجد ${\displaystyle y\in D}$ يحقق ${\displaystyle \|y-x\|\leq \epsilon }$
• غالق ${\displaystyle D}$ (${\displaystyle {\overline {D}}}$) يساوي ${\displaystyle E}$

يمكن تعميم التعريف للفضاءات القياسية بتعويض المعيار بالمسافة.