قانون تركيب داخلي

• يسمى عنصر ${\displaystyle c\,}$ مربع إذا كان:  ${\displaystyle \exists \ x\in E,\ x*x=c\,}$

على العكس، كل عنصر x لديه مربع واحد، وعادة ما يشار إليه بـ " x² "

إذا كان القانون يرمز له بالجمع، سيُستخدم المصطلح " مزدوج" عوضاً عن المصطلح "مربع" .

مثال : في المجموعة ℤ، مزدوج العدد 3 (للجمع) هو 6، ومربعه (للضرب) هو 9.

• يسمى عنصر ${\displaystyle s\,}$ بلا تأثير (من الرتبة 2) أو مسقط إذا كان:  ${\displaystyle s*s=s\,}$

وفي تعبيرات أخرى، هذا العنصر له مربع خاص به.

أمثلة:

• كل عنصر محايد في قانون ما فهو بلا تأثير بالنسبة لهذا القانون؛
• في كل مجموعة عددية تحتوي على العنصرين 0 و 1 فهما الوحيدين اللذين بلا ثأثير بالنسبة للضرب.

يسمى العنصر ${\displaystyle e}$:

• محايد على اليسار إذا كان${\displaystyle \forall x\in E\quad e*x=x}$ .
• محايد على اليمين إذا كان${\displaystyle \forall x\in E\quad x*e=x}$ .
• محايد عندما يكون محايدًا على اليمين وعلى اليسار.

أمثلة

• في ℝ، العنصر المحايد للجمع هو 0، وللضرب هو 1.
• في مجموعة المجموعات الجزئية X، تكون المجموعة الفارغة محايدة بالنسبة للاتحاد والمجموعة X محايدة للتقاطع.

كل عنصر محايد على اليسار أو على اليمين فهو بلا تأثير.

إذا وُجِدَ عنصر محايد على اليسار وعنصر محايد على اليمين، فإن القانون يعترف بعنصر محايد واحد، وكل عنصر محايد على اليسار أو على اليمين يساويه.

عندما يوجد عنصر محايد ${\displaystyle e}$:

• يسمي العنصر ${\displaystyle s}$ ذاتي الانعكاس إذا كان${\displaystyle s*s=e}$.

  العنصر الوحيد ذاتي الانعكاس وبلا تأثير هو العنصر المحايد؛

• يسمي عنصر ${\displaystyle a}$ مماثل العنصر ${\displaystyle b}$ على اليسار إذا كان ${\displaystyle a*b=e}$. ومنه فإن العنصر ${\displaystyle b}$ مماثل العنصر ${\displaystyle a}$ على اليمين.

يسمي عنصر ${\displaystyle a}$:

• ممتص على اليسار إذا كان: ${\displaystyle \forall x\in E\quad a*x=a}$ .
• ممتص على اليمين إذا كان: ${\displaystyle \forall x\in E\quad x*a=a}$ .
• ممتص إذا ممتص على اليمين وعلى اليسار.

أمثلة

• في ℝ، العدد 0 ممتص بالنسبة للضرب.
• في مجموعة المجموعات الجزئية X، تكون المجموعة الفارغة ممتصة بالنسبة للتقاطع بينما تكون المجموعة X ممتصة بالنسبة للاتحاد.

كل عنصر ممتص على اليسار أو على اليمين فهو بلا تأثير.

إذا وُجِدَ عنصر ممتص على اليسار وعنصر ممتص على اليمين، فإن القانون له عنصر ممتص واحد، وأي عنصر ممتص على اليسار أو اليمين يساويه.

عندما يكون للقانون عنصر ممتص ${\displaystyle 0}$، يسمي عنصر ${\displaystyle x}$ عديم القوى (من الرتبة 2) إذا كان${\displaystyle x*x=0}$.