دالة متعددة القيم

• في مجموعة الأعداد الحقيقية، لكل عنصر x الموجب، تقابل العلاقة ${\displaystyle y^{2}=x}$ عنصرين ${\displaystyle |y|}$ و ${\displaystyle -|y|}$ مع ${\displaystyle |y|^{2}=x}$ . نقتصر عادة إلى القيمة الموجبة ${\displaystyle |y|}$ حتى تكون لدينا دالة الجذر التربيعي.

• في مجموعة الأعداد المركبة، من خلال تعريف عنصر z من المستوى المركب ${\displaystyle \mathbb {C} }$ بواسطة ${\displaystyle z=|z|e^{{\rm {i}}\theta }}$ مع ${\displaystyle \theta }$ عمدة z، الجذور التربيعية لـ z هي الأعداد ${\displaystyle w_{k}}$ ( ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ) المعطاة بـ:

${\displaystyle w_{k}={\sqrt {|z|}}e^{i\theta /2}e^{i\pi k}}$

نتحقق من أن ${\displaystyle w_{k}^{2}=|z|e^{i\theta }e^{2i\pi k}=z}$ من أجل كل عدد صحيح k.

من خلال تحديد عنصر z للمستوى المركب كما كان من قبل، فإن اللوغاريتمات العقدية لـ z هي الأعداد ${\displaystyle w_{k}}$ ( ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ) المعطاة بـ: ${\displaystyle w_{k}=\ln |z|+i\theta +2i\pi k}$

نتحقق من أن ${\displaystyle \exp(w_{k})=|z|e^{i\theta }e^{2i\pi k}=z}$ بما أن، قلنا سابقا أن ${\displaystyle e^{2i\pi k}=1}$، من أجل كل عدد صحيح k.