1 − 2 + 3 − 4 + ···

حيث أن العناصر 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... تتبع نظام بسيط، فإن المتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... يمكن التعامل معها بإزاحة العناصر واحدا واحدا ثم الجمع لإيجاد قيمة لها. إذا قلنا أن ... + s = 1 − 2 + 3 − 4 ، فالطريقة التالية توضح أن  s = ¹⁄₄ : [4]

${\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}}$

بجمع 4 نسخ من 1 − 2 + 3 − 4 + ..., بعد عمل إزاحة والجمع ينتج 1. كل واحدة من الناحيتين اليمين واليسار تبين جمع نسختين من 1 − 2 + 3 − 4 + ... لاحظ أن ناتج الجمع هو 1 − 1 + 1 − 1 + ....

أي أن  ${\displaystyle s={\frac {1}{4}}}$. ويمكن توضيح ذلك بالرسم المقابل.

رغم أن 1 − 2 + 3 − 4 + ... ليس لها مجموع بمجرد النظر، إلا أن s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ¹⁄₄  يمكن دعمها إذا أردنا تعريف ذلك المجموع. هناك العديد من الطرق (بعضها مذكور أدناه) للتعامل مع مجموع متسلسلة متباعدة. ومن المفضل لتلك الطرق أن يكون لها بعض خصائص جمع المتسلسلات العادية. وباستخدام أية طريقة للجمع (خطية ومستقرة) فإن مجموع  1 − 2 + 3 − 4 + ... هو ¹⁄₄.[5]

وحيث أن:

${\displaystyle {\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+{}&(-2+3-4+\cdots )&{}+1-2&{}+(3-4+5\cdots )\\&=&0+{}&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}}$

فهذه الطريقة يمكن استخدامها لإثبات أن مجموع متسلسلة غراندي 1 − 1 + 1 − 1 + ... = ¹⁄₂.[5]

في عام 1891، أعطى إيرنست سيزارو أملا في إيجاد حلولا رياضية للمتسلسلات المتباعدة، فمثلا (1 − 1 + 1 − 1 + ...)² = 1 − 2 + 3 − 4 + ... وكلا الطرفان يساوي ¹⁄₄.[6] وكان ذلك تطبيقا لنظرية نشرها سيزارو في العام السابق، والتي تُعد أول نظرية في التاريخ لجمع المتسلسلات المتباعدة.[7] وبيان ذلك الجمع كالتالي:  الفكرة المحورية هي أن 1 − 2 + 3 − 4 + ... هي مضروب كوشي (التفاف رقمي) لكلا من 1 − 1 + 1 − 1 + ... مع 1 − 1 + 1 − 1 + ....

يمكن تعريف مضروب كوشي لمتسلسلتين لا نهائيتين حتى لو كانت كلتاهما متباعدة. ففي حالة ما إذا كان a_n = b_n = (−1)ⁿ، فإن عناصر مضروب كوشي تُعطى بمجموع الأقطار المحدود

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1).\end{array}}}$

وبالتالي فإن متسلسلة الضرب هي:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots .}$

فطريقة الجمع التي توافق مضروب كوشي لمتسلسلتين، والتي أثبتت أن مجموع المتسلسلة 1 − 1 + 1 − 1 + ...هو 1/2 يمكنها أيضا أن تثبت أن مجموع المتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... هو 1/4. مما سبق فهناك توافق بين طرق جمع 1 − 1 + 1 − 1 + ... و 1 − 2 + 3 − 4 + ... مع الطرق الخطية المستقرة التي تحقق مضروب كوشي.

وتعد نظرية سيزارو مثالا واضحا لذلك. المتسلسلة 1 − 1 + 1 − 1 + ... قابلة للجمع (وفق سيزارو) بأقل درجة، وتسمى قابلة للجمع-(C, 1) بينما المتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... تحتاج شكل أقوى من نظريات سيزارو،[8]  هي قابلة للجمع-(C, 2). وحيث أن كل أشكال نظرية سيزارو هي خطية ومستقرة، فإن نتائج الجمع هي كما أسلفنا.

بيانات عن مجموع (H, 2)  والناتج  ¹⁄₄

لإيجاد مجموع سيزارو(C, 1) للمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ...، إذا كان موجودا، يجب حساب المتوسطات الحسابية للمجاميع الجزئية للمتسلسلة. المجاميع الجزئية هي:

1 ، −1 ، 2 ، −2 ، 3 ، −3 ، ...،

والمتوسطات الحسابية لتلك المجاميع الجزئية هي:

1 ، 0 ، ²⁄₃، 0 ، ³⁄₅، 0 ، ⁴⁄₇، ....

وهذه المتوسطات لا تتقارب، ولذلك فالمتسلسلة   1 − 2 + 3 − 4 + ... ليست قابلة للجمع وفق سيزارو.

هناك تعميمان مشهوران لجمع سيزارو: أبسطهما هو طرق (H, n) للأعداد الطبيعية n. حيث (H, 1) هو مجموع سيزارو، والطرق الأعلى تُكرر حساب المتوسطات. كما نرى -أعلاه- فإن المتوسطات الزوجية تتقارب إلى ¹⁄₂، بينما المتوسطات الفردية جميعها يساوي 0، وبذلك يكون متوسط المتوسطات يتقارب إلى 0  و ¹⁄₂، أي ¹⁄₄.[9] وبالتالي يمكن القول أن 1 − 2 + 3 − 4 + ... هي قابلة للجمع(H, 2) وتؤول إلى ¹⁄₄.

الرمز "H" يعود للعالِم Otto Hölder، والذي يُعد أول من أثبت في عام 1882 ما يعتبره الرياضاتيون الآن الرابط بين "مجموع آبل" ومجموع (H, n); المتسلسلة  1 − 2 + 3 − 4 + ... كانت أول مثال.[10] حقيقة أن ¹⁄₄ هي مجموع (H, 2) للمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... أكدت أنها هي "مجموع آبل" أيضا، وسيتم أثبات ذلك لاحقا.

التعميم الآخر لجمع سيزارو هو طرق (C, n). حيث ثبت أن جمع (C, n) وجمع (H, n) دائما يعطيان نفس النتائج، لكن لهما خلفيات مختلفة. في عام 1887، اقترب سيزارو من وضع تعريف جمع (C, n) ، لكنه أعطى أمثلة قليلة. فقد ذكر أن مجموع المتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ...، هو القيمة ¹⁄₄ بطريقة يمكن اعتبارها قريبة من طريقة جمع (C, n) لكنها لم يتم تحقيقها في ذلك الوقت. وقد قام بصياغة طريقة جمع (C, n) في عام 1890 لينص على أن مضروب كوشي لمتسلسة قابلة للجمع-(C, n) ومتسلسلة قابلة للجمع-(C, m) هو متسلسلة قاببة للجمع- (C, m + n + 1).[11]

في عام 1749، قرر أويلر أن المتسلسلة تتباعد لكنه حاول إيجاد مجموع لها بأية طريقة:

قدَّم أويلر عدة تعميمات لكلمة "جمع". في حالة المتسلسلة  1 − 2 + 3 − 4 + ...تُعد فكرته مشابهة لما يُعرف بـ "مجموع آبل":

ليس هناك شك في أن مجموع المتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + 5 هو 1⁄4، لأنها تأتي من مفكوك المعادلة ${\displaystyle {\frac {1}{(1+1)^{2}}}.}$ والتي قيمتها 1⁄4. ويمكن توضيح الفكرة باعتبار المتسلسلة العامة (${\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots }$). والتي تظهر في مفكوك ${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{2}}}.}$، الذي يساوي هذه المتسلسلة عندما نضع x = 1.[13]

هناك طرق عديدة لبيان ذلك، على الأقل للقيم المطلقة ${\displaystyle |x|<1.}$، فإن أويلر على صواب في ذلك:

${\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}.}$

يمكن إيجاد مفكوك تايلور للجانب الأيمن من المعادلة أو تطبيق طريقة القسمة المطولة لكثيرات الحدود. بدءاً بالجانب الأيسر، يمكن متابعة الحل أعلاه ويمكن الضرب في (1 + x) مرتين أو تربيع المتسلسلة الهندسية ${\displaystyle 1-x+x^{2}-\cdots }$. اقترح أويلر أيضا اشتقاق المتسلسلة الأخيرة عنصرا عنصرا.[14]

وفقا للنظرة الحديثة فإن المتسلسلة ${\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}\cdots }$ ليست مُعرفة كدالة عند  x = 1، وبالتالي لا يمكن التعويض بهذه القيمة في تلك العلاقة. وحيث أن الدالة مُعرفة عند كل ${\displaystyle |x|<1.}$، يمكننا أخذ النهاية عندما x تؤول إلى 1، وهذا هو تعريف "مجموع آبل":

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}$

مجموع أويلر لـ ¹⁄₂ − ¹⁄₄

طبق أولير طريقة أخرى على تلك المتسلسلة: تحويل أويلر هو واحد من ابتكاراته، ولحساب تحويل أويلر نبدأ بالحدود الموجبة للمتسلسلة وهي 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، .... ونعطي التسمية a₀ للعنصر الأول.

ثم نحسب الفروق المحدودة (forward differences) لهذه الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ...، والتي هي 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، .... نسمي أول عنصر منها Δa₀. يعتمد تحويل أويلر على "فروق الفروق"، لكن كل الفروق لـ 1 ، 1 ، 1 ، 1 ، ... هي 0. وبالتالي فإن تحويل أويلر لـ 1 − 2 + 3 − 4 + ... يمكن تعريفه أنه:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}.}$

أو يمكن القول أن 1 − 2 + 3 − 4 + ... قابلة للجمع "وفق أويلر" وقيمتها ¹⁄₄.

قابلية الجمع عند أويلر تتضمن أن 1 − 2 + 3 − 4 + ... هو 

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1),}$

وهي المعادلة المرتبطة بالمتسلسلات المتقاربة

${\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k+1}}{(k+1)!}}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!}}=e^{-x}x.}$

"مجموع بوريل" للمتسلسلة  1 − 2 + 3 − 4 + ...هو:[15]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}x\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\int _{0}^{\infty }e^{-\beta x}\,dx=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}{\bigg |}_{2}\beta ^{-1}={\frac {1}{4}}.}$

توصل سيتشيف وويكشينسكي إلى أن 1 − 2 + 3 − 4 + ... = ¹⁄₄ بتطبيق مبدأين فقط هما: (infinitesimal relaxation) و (separation of scales). وكان هذان المبدأن سببا لتعريف طرق عديدة أطلقا عليها اسم ("φ-summation methods")، وجميعها أعطى نفس النتيجة بأن مجموع هذه المتسلسلة هو ¹⁄₄:

• إذا كان (φ(x هي دالة بحيث أن المشتقتين الأولى والثانية لها متصلتان وقابلتان للتكامل على الفترة (0, ∞)، بحيث أن φ(0) = 1 ونهايات (φ( x و (xφ(x عند +∞ هي 0، فإن[16]

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}.}$

هذه النتيجة تعتبر تعميم لمجموع آبل، والذي يمكن الحصول عليه عند تساوي كلا من (φ(x و (exp(-x. ويمكن إثبات هذا التعميم بأخذ أزواج من عناصر المتسلسلة على m وتحويلها إلى تكامل ريمان. وفق الخطوة الأخيرة فإن الإثبات المناظر لمتسلسلة غراندي 1 − 1 + 1 − 1 + ... يُطبق مبرهنة القيمة الوسطى، لكننا نحتاج صيغة لاجرانج الأقوى من مبرهنة تايلور.