نظرية الأعداد التحليلية

بافنوتي تشيبيشيف

أثبت إقليدس أن هناك عددا غير منته من الأعداد الأولية ولكنه من الصعب تحديد ما إذا كان عدد طبيعي ما عددا أوليا أم لا، وخصوصا إذا كان هذا العدد كبيرا.

${\displaystyle \,\int _{2}^{N}{\frac {1}{\log(t)}}\,dt.}$

في عام 1859، استعمل برنارد ريمان التحليل العقدي ودالة خاصة جزئية الشكل تعرف حاليا باسم دالة زيتا لريمان من أجل التعبير بصفة تحليلية عن عدد الأعداد الأولية الأصغر من عدد ما.

إذا كانت ${\displaystyle \pi (x)}$ هي عدد الأعداد الأولية الأصغر من x فإن

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$

تعرف هاته النتيجة المهمة بمبرهنة الأعداد الأولية. هي نتيجة مركزية في نظرية الأعداد التحليلية. وبتعبير آخر، تنص هاته المبرهنة أنه بالنسبة لعدد N كبير كبراً ما، عدد الأعداد الأولية الأصغر من N أو المساوية له يساوي بالتقريب (N/log(N.

انظر إلى متتالية حسابية.

واحدة من أهم المعضلات في نظرية الأعداد المتطرقة للمجاميع هي معضلة ويرينغ. هاته المعضلة تطرح السؤال التالي : بالنسبة لعدد طبيعي k ما، أكبر أو يساوي 2، هل من الممكن كتابة أي عدد صحيح طبيعي على شكل مجموع قوى من الدرجة k ؟

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.\,}$

أجاب لاغرانج عن هذا السؤال عندما يكون العدد k مساويا ل 2 في عام 1770، حيث أثبت أن أي عدد صحيح طبيعي هو مجموع أربعة مربعات على الأكثر. بُرهنت الحالة العامة من طرف ديفيد هيلبرت عام 1909.

انظر إلى ايفان ماتفييفيتش فينوغرادوف.

تهتم المسائل الديوفانتية بدراسة الحلول عندما تكون مساوية لأعداد طبيعية لمعادلات متعددات الحدود، وخصوصا تهتم بكمية هاته الحلول في مجال معين ما.

واحدة من أهم هاته المسائل هي معضلة الدائرة لغاوس التي تبحث عن النقط (x, y) حيث x وy طبيعيان وحيث :

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

تعتبر متسلسلات دركليه واحدة من أهم الوسائل المستعملة في نظرية الأعداد المتطرقة إلى الجداءات. وهي دوال متغيراتها أعداد عقدية تعرف بالمتسلسلة غير المنتهية الآتية :

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

قد تكون هاته المتسلسلة متباعدة في كل مكان وقد تكون متقاربة في كل مكان وقد تكون متقاربة في نصف المستوى العقدي ومتباعدة في نصفه الآخر. يتعلق كل ذلك بالقيم اللائي اختِرن للمعاملات ${\displaystyle a_{n}}$.

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right)n^{-s};}$

برهن أويلر أن المبرهنة الأساسية في الحسابيات تؤدي إلى ما يلي:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}\,\,\ \,}$ حيث ${\displaystyle p}$ عدد أولي وحيث ${\displaystyle s}$ أكبر قطعا من الواحد.

في بداية القرن العشرين، غودفري هارولد هاردي و جون إيدنسور ليتلوود برهنا على مجموعة من النتائج حول دالة زيتا في محاولة منهما على البرهان على فرضية زيمان. هكذا، في عام 1914، برهن هاردي على أن هناك عددا لانهائيا من الحلول لدالة زيتا على المستقيم الحرج.

${\displaystyle \,\Re (z)=1/2.\,}$

أدى هذا إلى إيجاد مجموعة من المبرهنات حول كثافة أصفار دالة زيتا في المستقيم الحرج.