حل المثلثات

نظرة عامة على خطوات وأدوات خاصة تستخدم عند حل المثلثات المستوية

الطريقة الأساسية لحل المعضلة هي استخدام العلاقات الأساسية.

قانون جيب التمام

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

قانون الجيب

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$

مجموع الزوايا

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$

قانون الظل

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}$

هناك علاقات عامة أخرى (مفيدة عمليًا في بعض الأحيان): قانون ظل التمام وصيغة مولفيده.

1. لإيجاد زاوية مجهولة، فإن قانون جيب التمام أكثر أمانًا من قانون الجيب. والسبب هو أن قيمة الجيب لزاوية المثلث لا تحدد هذه الزاوية بصورة فريدة. على سبيل المثال، إذا كانت sin β = 0.5، يمكن أن تساوي الزاوية إما 30 درجة أو 150 درجة. استخدام قانون جيب التمام يتجنب هذه المشكلة: عند المجال من 0 درجة إلى 180 درجة تحدد قيمة جيب التمام بشكل لا لبس فيه زاويته. من ناحية أخرى، إذا كانت الزاوية صغيرة (أو قريبة من 180 درجة)، فعندئذٍ يكون تحديدها من جيبها أكثر من جيب تمامها لأن دالة جيب التمام العكسية لها مشتق متباين عند 1 (أو −1).
2. نفترض أن الوضع النسبي لخصائص محددة معلوم. إذا لم يكن كذلك، فإن انعكاس المرآة للمثلث سيكون أيضًا حلًا. على سبيل المثال، تحدد ثلاثة أطوال أضلاع بصورة فريدة إما مثلثًا أو انعكاسًا له.

ثلاث أضلاع معطاة

لتكن ثلاث أضلاع معلومة A و B و C. لإيجاد الزوايا α و β، يمكن استخدام قانون جيب التمام:[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\\[4pt]\beta &=\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\end{aligned}}}$

عندئذ تساوي الزاوية γ:

γ = 180° − α − β

توصي بعض المصادر بإيجاد الزاوية β من قانون الجيب ولكن هناك خطر من خلط قيمة الزاوية الحادة مع قيمة الزاوية المنفرجة.

طريقة أخرى لحساب الزوايا من الأضلاع المعلومة هي تطبيق قانون ظل التمام.

ضلعان والزاوية المحصورة بينهما

هنا، أطوال الأضلاع a ، و b والزاوية γ المحصورة بين هذه الأضلاع معلومة.  يمكن تحديد الضلع الثالث من قانون جيب التمام:[4]

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$

الآن نستخدم قانون جيب التمام لإيجاد الزاوية الثانية:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}.}$

وأخيرًا، β = 180° − α − γ.

ضلعان وزاوية غير محصورة المعطاة

رسمٌ يوضِّحُ حلَّيْن للمثلث SSA معلوم الجانبين وزاوية β غير محصورة بينهما لو الضِلْع c أصغر مِن الضِلع b المُقابل للزاوية المجهولة γ فتكون منفرجة أو حادَّة .

هذه الحالة غير قابلة للحل في جميع الحالات؛  يتم ضمان أن يكون الحل فريدًا فقط إذا كان طول الضلع المجاور للزاوية أقصر من طول الضلع الآخر. نفترض أن ضلعين b و c والزاوية β معلومتان. يمكن ايجاد معادلة الزاوية γ من قانون الجيب:[5]

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta }$

نضع D = c/b sin β (الجهة اليمنى للمعادلة).  هناك أربع حالات ممكنة:

1. إذا كان D > 1: فلا يوجد مثل هذا المثلث لأن الضلع b لا يصل إلى القطعة المستقيمة BC. ولنفس السبب لا يوجد حل إذا كانت الزاوية β ≥ 90° ، و b ≤ c.
2. إذا كان D = 1: يوجد حل وحيد: γ = 90°، أي أن المثلث قائم الزاوية.
3. إذا كان D < 1: هناك بديلان ممكنان:
   1. 

      رسمٌ يوضِّحُ حلًّا واحدًا فقط للمثلث SSA معلوم الجانبين وزاوية β غير محصورة بينهما حينَ يكون الضِلع c أصغر مِن نظيره المعلوم b المُقابل للزاوية المجهولة γ حيث تكون زاوية حادَّة.
      إذا كانت b ≥ c: فإن β ≥ γ (الضلع الأكبر يقابل الزاوية الكبرى). بما أنَّهُ لا يمكن أن يكون للمثلث أكثر من زاوية منفرجة، فإن γ هي زاوية حادة والحل γ = arcsin D فريد.
   2. إذا كانت b < c: فقد تكون الزاوية γ حادة: γ = arcsin D أو منفرجة: γ′ = 180° - γ. يوضح الشكل الموجود على اليسار النقطة C والضلع b والزاوية γ كحل أول، والنقطة B′ والضلع c′ والزاوية γ' كحل ثان.

عند الحصول على الزاوية γ تُحسب الزاوية الثالثة بتطبيق متطابقة مجموع الزوايا:

α = 180° − β − γ

عندئذٍ يمكن ايجاد الضلع الثالث مِن قانون الجيب:

${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$

أو

${\displaystyle a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}}$ .

ضلع وزاويتان مجاورتان معطاة

الخصائص المعلومة هي الضلع c والزوايا α, β. الزاوية الثالثة γ = 180° − α − β.

يمكن حساب ضلعين مجهولين بتطبيق قانون الجيب:[6]

${\displaystyle a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }};\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}.}$

أو

${\displaystyle a=c{\frac {\sin \alpha }{\sin \alpha \cos \beta +\sin \beta \cos \alpha }}}$

إجراء حل مثلث AAS هو نفس الإجراء الخاص بمثلث ASA: أولاً، نبحث عن الزاوية الثالثة باستخدام خاصية مجموع زوايا المثلث، ثم نبحث عن الضلعين الآخرين باستخدام قانون الجيب.

في كثير من الحالات، يمكن حل المثلثات انطلاقًا من بعض المعلومات ، بعضها أطوال متوسطات المثلث أو الارتفاعات أو منصفات الزوايا. يسرد الكتاب "The Secrets of Triangles" للعالمين بوسامنتيير وليمان[7] نتائج مسألة قابلية الحل فقط باستخدام الجذور التربيعية (أي قابلية الإنشاء) لعدد 95 حالة متميزة؛ 63 مِن تلك الحالات قابلة للإنشاء.[8]

المعلومة: الأقواس a ، و b ، و c (بوحدات الزاوية). تحسب زوايا المثلث A ، و B ، و C وهي نفسها بالرُّمُوز اللاتينية ألفا α ، بيتا β ، جاما γ ، باستخدام قانون جيب التَّمام للمثلثات الكروية:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right),}$

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right),}$

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right).}$

قوسان وزاوية محصورة معطاة

المعلومة: الأقواس a ، و b ، والزاوية المحصورة بينهما γ أو C وهي المقابلة للقوس c فَتُحسَبُ قِيْمَتُهُ باستخدام قانون جيب التمام للمثلثات الكروية:

${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right).}$

يمكن حساب الزوايا α, β على النَّحوِ الوارد أعلاه، أو باستخدام صيغ نابير:

${\displaystyle \alpha =\arctan \ {\frac {2\sin a}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\cot({\frac {\gamma }{2}})\sin(b-a)}},}$

${\displaystyle \beta =\arctan \ {\frac {2\sin b}{\tan({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\cot({\frac {\gamma }{2}})\sin(a-b)}}.}$

في المِلاحة تنشأ مُعضِلة في إيجاد الدَّائرة العُظْمَى بين نقطتين على الأرض يحددها خط العرض وخط الطول (حيث يعتمد المُثَلَّث الكُروي على أقواس ضِمْن دوائر مركزها مركز الكُرة فقط )؛ في هذا التَّطبيق باستخدام دالة الظِّلّ tan، لِذا فمن المهم استخدام صيغ ليست عُرضةً لأخطاء التَّقريب ، وَلِهذا الغَرَض يُمكن استخدام الصَّيغ التَّالية (التي يمكن اشتقاقها باستخدام الجبر المتجهي):

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=\arctan {\frac {\sqrt {(\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma )^{2}+(\sin b\sin \gamma )^{2}}}{\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma }},\\\alpha &=\arctan {\frac {\sin a\sin \gamma }{\sin b\cos a-\cos b\sin a\cos \gamma }},\\\beta &=\arctan {\frac {\sin b\sin \gamma }{\sin a\cos b-\cos a\sin b\cos \gamma }},\end{aligned}}}$

حيث يجب استخدام إشارات البسط والمقام في هذه التَّعبيرات لتحديد ربع قوس الظل.

قوسان وزاوية غير محصورة معطاة

المعلومة: الجوانب b ، وc والزَّاوية β ليست محصورة بينهما. هذه المشكلة قَد لا تَكُونُ قابلةً لِلحَلِّ بِشَكْلٍ مُباشِرٍ؛

حيثَ أنَّ قيمة الزَّاوية β يُحتَمَل كونُها حادة أو مُنْفَرِجة عِنْدَ تَطبيق قانون الجيب للمثلثات الكروية في إيجاد قيمتها كخطوة لازمة لمعرفة بقية عناصر المُثَلَّث؛

ويُكونُ الحَلُّ مُباشِرًا فقط إذا كان طُول القَوْس b المُجاور للزَّاوية المجهولة γ والقوس الآخر c المُقَابِل لها كلاهما أقَلّ مِن أو يساوي 90 درجة قوسية ؛

فيوجد حَلٌّ مُباشِرٌ إذا تحقَّقَ الشَّرط التَّالي:

${\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).}$

فَيمكن على سَبيلِ المِثالِ إيجاد الزاوية γ مِن قانون الجيب للمثلثات الكروية:

${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right).}$

أمَّا فيما سِوَى ذَلِكَ فيكون الحَلُّ غير مُبَاشِر كما في حالة المُثلثات المُستوية، إذا كانت b < c فالحَلُّ يكون :

180° - γ ؛ وليس أي γ ؛

أي هكذا :

${\displaystyle \gamma =180-\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right).}$

بَعدَها يُمكننا إيجاد العُنصرَين المُتَبِقِّيَيْنِ مِن المُثَلَّثِ الكُرَوِيّ القوس a ، والزَّاوية المُقَابِلَة له A أو ألفا α ، باستخدام صِيَغ نابير:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right],\\[4pt]\alpha &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\tfrac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right].\end{aligned}}}$

ملاحظة تطبيقيَّة : يمكن صِياغَة مُعادَلة جَبريَّة لِتُطَبَّق بشكلٍ مباشر على غِرار قاعدة (if) في الإكسيل [10] لكن على خطوتين؛

الخطوة الأولى إيجاد إشارة موجبة أو سالبة تُعَبِّرُ عَن النسبة بين قيمة القوس c المُقابِل للزاوية المجهولة γ وبين القوس b المُجاوِر لها ، هكذا:

${\displaystyle \mathbf {\pm 1={({\color {red}c}-{\color {blue}b}+10^{-15}) \over |{\color {red}c}-{\color {blue}b}+10^{-15}|}} }$ ؛

حَيْثُ 10^-15 قيمة مُضافَة لمنع القِسمة ÷ صفر عند تساوي قيمتي c ، b وهي قِيْمَة مُهْمَلَة وأقل مِن الفروق الطبيعية المُستخدمة عادةً والقوسان |.... | بهذا الشَّكْل يُمَثِّلان الفَرَق المُطلَق أو الموجب دائمًا بين القيمتين ؛

الخطوة الثانية هي صياغة معادلة إيجاد الزَّاوية γ المُقابِلة للقوس c مع إضافة ناتج الخطوة الأولى ${\displaystyle \gamma =[90-(\pm 1\times 90)]+\left[\pm 1\times \arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)\right]}$ حيث المقدار ${\displaystyle \pm 1}$ تتغير قيمته بموجب أو سالب حَسَب تطبيق الخطوة الأولى، ويتم ضرب ناتجها في 90 وكذلك في نَصِّ معادلة قانون الجيب للمثلثات وبهذا التَّطبيق تؤول المُعادلة لِلصورة:

${\displaystyle \gamma =[90-(-90)]+\left[-1\times \arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)\right]}$ فقط في حالة كان ناتج الخطوة الأولى = -1، وذلك عندما تكونُ قيمة القوس c المُقابِل للزَّاوية γ أصغر مِن قيمة القوس b المُجاوِر لها، وهي التي تُعادِل الصُّورة :- ${\displaystyle \gamma ={\color {red}180}-{\color {blue}\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right)}}$

وأهمية هذه المُعادِلة تَكْمُن في حالة التَّعويض عن ${\displaystyle \pm 1}$ مِن نَصِّ المُعادلة بالخطوة الأولى بعد علامة = في نَصِّ المعادلة الثانية فتصير المعادلة مِن خطوة واحدة مُباشرة هكذا :-

${\displaystyle \mathbf {\gamma =90{\color {red}-}\,{90\times ({\color {red}c}-{\color {blue}b}+10^{-15}) \over |{\color {red}c}-{\color {blue}b}+10^{-15}|}\,{\color {blue}+}\,{({\color {red}c}-{\color {blue}b}+10^{-15})\times \mathbf {\arcsin \left({\frac {\sin {\color {red}c}\,\times \sin \beta }{\sin {\color {blue}b}}}\right)} \over |{\color {red}c}-{\color {blue}b}+10^{-15}|}} }$

حيث تؤول القيم المُضافة للمُعادلة الأصلية إلى (90 + 90 - المعادلة الأصلية) في حالة ضرورة طرح ناتجها مِن 180؛ وتؤول إلى (90 - 90 + المُعادلة الأصلية) في حالة عَدَم الحاجة إلى الطَّرح، ويمُكِن بالتحقيق الجَبري التَّأكُّد مِن صِحةِ العلاقة؛ وتُطبَّقُ أيضًا في حالة وجود احتمالين بقانون الجيب لحل المُثلَّثات المستوية لكن بالنسبة المباشرة بين الضِلعين c و b بلا حساب جيب كل منهما.

قوس وزاويتان مجاورتان معطاة

المعلومة: القوس c والزوايا α, β. أولاً، نحدد الزاوية γ باستخدام قانون جيب التمام لـ م.ك :

${\displaystyle \gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).\,}$

يمكن ايجاد قوسين مجهولين مِن قانون جيب التمام (باستعمال الزاوية المحسوبة γ):

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),}$

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \alpha \cos \gamma }{\sin \alpha \sin \gamma }}\right),}$

أو باستخدام صيغ نابير:

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=\arctan \left[{\frac {2\sin \alpha }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\beta +\alpha )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\beta -\alpha )}}\right],\\[4pt]b&=\arctan \left[{\frac {2\sin \beta }{\cot({\frac {c}{2}})\sin(\alpha +\beta )+\tan({\frac {c}{2}})\sin(\alpha -\beta )}}\right].\end{aligned}}}$

قوس، وزاوية مجاورة وزاوية مقابلة معطاة

المعلومة: القوس a والزوايا α, β. يمكن ايجاد القوس b قانون الجيب لـ م.م:

${\displaystyle b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}$

إذا كانت الزاوية المركزية المقابلة للقوس a حادة و α > β، هناك حل آخر:

${\displaystyle b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}$

يمكننا ايجاد خصائص أخرى باستخدام صيغ نابير:

${\displaystyle {\begin{aligned}c&=2\arctan \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right],\\[4pt]\gamma &=2\operatorname {arccot} \left[\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right].\end{aligned}}}$

ثلاث زوايا معطاة

المعلومة: الزوايا α, β, γ. من قانون جيب التمام للمثلثات الكروية، نستنتج:

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),}$

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right),}$

${\displaystyle c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right).}$

تصبح الخوارزميات أعلاه أبسط بكثير إذا كانت إحدى زوايا المثلث (على سبيل المثال ، الزاوية C) هي زاوية قائمة. يتم تعريف مثل هذا المثلث الكروي بالكامل بواسطة عنصريه، ويمكن حساب العناصر الثلاثة الأخرى باستخدام العلاقات التالية:

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin A}$ (من قانون الجيب لـ م.ك)

${\displaystyle \tan a=\sin b\cdot \tan A}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b}$ (من قانون جيب التمام لـ م.ك)

${\displaystyle \tan b=\tan c\cdot \cos A}$

${\displaystyle \cos A=\cos a\cdot \sin B}$ (من قانون جيب التمام لـ م.ك)

${\displaystyle \cos c=\cot A\cdot \cot B}$

قياس المسافة باستخدام التثليث

إذا رغب المرء في قياس المسافة d من ضفة البحر إلى سفينة بعيدة عن طريق التثليث، تُعَلَّم على ضفة البحر نقطتين بمسافة معلومة l بينهما (خط الأساس). لتكن α، وβ زوايا بين خط الأساس والاتجاه إلى السفينة.

من الصيغ أعلاه (حالة ASA، بافتراض الهندسة المستوية) يمكن للمرء حساب المسافة كارتفاع المثلث:

${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \alpha +\tan \beta }}\ell .}$

بالنسبة لحالة المثلث الكروي، يمكن للمرء أولاً حساب طول القوس من النقطة عند α إلى السفينة (أي القوس المقابل لـ β) باستخدام صيغة ASA:

${\displaystyle \tan b={\frac {2\sin \beta }{\cot(l/2)\sin(\alpha +\beta )+\tan(l/2)\sin(\alpha -\beta )}},}$

وإدراج هذا في صيغة AAS للمثلث الفرعي الذي يحتوي على الزاوية α والقوسين b و d:

${\displaystyle \sin d=\sin b\sin \alpha ={\frac {\tan b}{\sqrt {1+\tan ^{2}b}}}\sin \alpha .}$

تستخدم هذه الطريقة في الملاحة الساحلية. تحدد الزوايا α، و β بملاحظة المعالم المألوفة من السفينة.

كيفية قياس ارتفاع جبل

مثال آخر في التثليث، إذا أراد المرء قياس ارتفاع h لجبل أو مبنى مرتفع، تحدد الزوايا α، و β من نقطتين أرضيتين إلى الأعلى. لتكن ℓ مسافة بين هذه النقاط. من نفس صيغ حالة ASA، نتحصل على:

${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\ell ={\frac {\tan \alpha \,\tan \beta }{\tan \beta -\tan \alpha }}\ell .}$

لحساب المسافة بين نقطتين على الكرة الأرضية،

النقطة A: خط العرض λ_A، خط الطول L_A ،

والنقطة B: خط العرض λ_B، خط الطول L_B

نعتبر المثلث الكروي ABC، حيث C هو القطب الشمالي. بعض الخصائص هي:

${\displaystyle a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} },\,}$

${\displaystyle b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} },\,}$

${\displaystyle \gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }.\,}$

إذا أعطيت قوسين وزاوية محصورة (حالة المثلث الكروي SAS)، نحصل من تلك الصيغ:

${\displaystyle \mathrm {AB} =R\,\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right]}$

هنا، R هو نصف قطر الأرض.

والسبب في هذا التغيير عن صيغة قانون جيب التمام لحساب المثلثات الكروية هو أنَّ جيب الزاوية = جيب تمام ( 90 - نفس الزاوية ) والعكس صحيح ؛

والقانون السَّابِق يخصُّ نظام راديان أمَّا في حالة استخدام نظام الدرجات فيكون بدلًا مِن الضرب في المقدار R فقط، الضرب في قِيمَة الدَّرجة القوسية ${\displaystyle \pi R \over 180}$ فيكون بالصُّورة التَّالية :

${\displaystyle \mathrm {AB} ={\pi \ R\,\arccos \left[\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right] \over 180}}$ .