تكامل مثلثي

رسم بياني لتكامل الجيب Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:

${\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}$

حيث ${\displaystyle {\rm {Si}}(x)}$ هو أصل ${\displaystyle \sin x/x}$ و التي تكون صفراً عندما ${\displaystyle x=0}$; و ${\displaystyle {\rm {si}}(x)}$ هو أصل ${\displaystyle \sin x/x}$ و التي تكون صفراً عندما ${\displaystyle x=\infty }$. يكون لدينا:

${\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}$

لاحظ بأن ${\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}$ هي دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون ${\displaystyle x=\infty }$, فأنه يُعرف باسم تكامل ديريكليه ^{[الإنجليزية]}.

في معالجة الإشارة، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و المصنوعات الرنينية ^{[الإنجليزية]} (Ringing artifacts) عند استعمال مرشح جيبي جوهري ^{[الإنجليزية]} (Sinc filter)، وتسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).

إن ظاهرة غيبس ^{[الإنجليزية]} (Gibbs phenomenon) هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.

رسم بياني لتكامل جيب التمام Si(x) عندما يكون 0 ≤ x ≤ 8π.

هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:

${\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}$

حيث ${\displaystyle {\rm {ci}}(x)}$ هو أصل ${\displaystyle \cos x/x}$ و التي تكون صفراً عندما ${\displaystyle x=\infty }$. يكون لدينا:

${\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}$

${\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}$

يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:

${\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}$

يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:

${\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}$

حيث أن ${\displaystyle \gamma }$ هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

رسم مجسم نيلسن اللولبي

في الرياضيات, لولب نيلسن (بالإنجليزية: Nielsen's spiral)‏, و يسمى أيضاً باللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام (بالإنجليزية: sici spiral)‏، هو لولب معادلاته الوسيطية:

${\displaystyle x=a\,{\mbox{ci}}\,t\,}$

${\displaystyle y=a\,{\mbox{si}}\,t\,}$

حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.

هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

تُسمى الدالة ${\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(z)\geq 0)}$ بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

${\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}$

بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة, ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى ${\displaystyle {\rm {Re}}(x)>0}$. (من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد ${\displaystyle \pi }$ في هذه العبارة الجبرية).

• تكامل أسي Exponential integral
• دالة التكامل اللوغاريتمي Logarithmic integral function

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5)
  • (Section 5.2, and Co Integrals)

• بوابة تحليل رياضي