دالة بيسل

دوال بسل من النوع الأول التي يرمز لها ${\displaystyle J_{\alpha }(x)\,}$, هي حلول معادلة بسل التفاضلية التي تكون محدودة عند نقطة الأصل ${\displaystyle (x=0)\,}$ لعدد صحيح غير سالب ${\displaystyle \alpha \,}$, وتتباعد عندما تقترب ${\displaystyle x\,}$ من الصفر لعدد صحيح غير سالب ${\displaystyle \alpha \,}$. يعرف نوع الحل (عدد صحيح أم غير صحيح مثلا) وانتظام ${\displaystyle J_{\alpha }(x)\,}$ بدلالة خواصه (انظر خواص دالة بسل). من الممكن تعريف الدالة من منشورها في متسلسلة تايلور حول ${\displaystyle x=0\,}$:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$

حيث ${\displaystyle \Gamma (z)\,}$ هي دالة غاما، تعميم دالة المضروب للقيم الغير صحيحة. يبدو رسم دوال بسل شبيها بدوال الجيب وجيب التمام المتضائلة طرديا مع ${\displaystyle 1/{\sqrt {(}}x)}$ مع أن جذورها ليست دورية عموما، سوى لقيم x التي يمكن مقاربتها. تشير متسلسلة تايلور إلى أن ${\displaystyle -J_{1}(x)\,}$ تمثل مشتقة ${\displaystyle J_{0}(x)\,}$, تماما مثل ${\displaystyle -\sin(x)\,}$ التي هي مشتقة ${\displaystyle \cos(x)\,}$; وبشكل عام يمكن التعبير عن المشتقة ${\displaystyle J_{n}(x)\,}$ بدلالة ${\displaystyle J_{n\pm 1}(x)\,}$ من مطابقات دوال بسل كما هو مبين في الأسفل.

مخطط دالة بسل من النوع الأول, J_α(x), لرتب صحيحة α=0,1,2.

للقيم الغير صحيحة α, تكون الدوال ${\displaystyle J_{\alpha }(x)\,}$ و${\displaystyle J_{-\alpha }(x)\,}$ مستقلة خطيا، وتكون بالتالي الحلين العامين للمعادلة التفاضلية. من جهة أخرى، للأعداد الصحيحة ${\displaystyle \alpha \,}$, تكون العلاقة التالية صحيحة (لاحظ أن دالة غاما تصبح لانهائية لحجج الأعداد الصحيحة السالبة):

${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x).\,}$

هذا يعني أن الحلين لم يعودا مستقلين خطيا. في هذه الحالة يكون الحل الاخر المستقل خطيا يكون دوال بسل من النوع الثاني كما هو مناقش في الأسفل.

يمكن الحصول على تعريف اخر لدالة بسل، للقيم الصحيحة n، باستعمال الصورة التكاملية:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(n\tau -x\sin \tau )\,\mathrm {d} \tau .}$

لقد كانت هذه هي الطريقة التي استعملها بسل، ومن هذا التعريف اشتق بعض الخصائص. يمكن تعميم التعريف إلى الرتب الغير صحيحة بإضافة حد اخر

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-x\sinh(t)-\alpha t}dt.}$

هنا صورة تكاملية أخرى:

${\displaystyle J_{n}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-\mathrm {i} \,(n\tau -x\sin \tau )}\,\mathrm {d} \tau .}$

${\displaystyle f_{n}}$ التالية هي أي من ${\displaystyle j_{n},y_{n},h_{n}^{(1)},h_{n}^{(2)}}$ حيث ${\displaystyle n=0,\pm 1,\pm 2,\dots }$

${\displaystyle \left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)=z^{(n-m)+1}f_{(n-m)}(z).}$