ميكانيكا الأوساط المتصلة

نمذجة جسم أو شيء ما على شكل وسط مستمر أو متصل تفترض أن مادة الجسم تملأ الحجم الذي يحتله الجسم بشكل كامل. نمذجة الأجسام بهذه الطريقة تغضي النظر عن حقيقة أن المادة مصنوعة من ذرات، وهي بالتالي ليست وسطًا مستمرًا؛ ولكن، على مقاييس طول أكبر بكثير من المسافات بين الذرية، تكون هذه النماذج دقيقة جدًّا. القوانين الأساسية للفيزياء كحفظ الكتلة، وحفظ كمية الحركة، وحفظ الطاقة يمكن تطبيقها على هكذا نماذج لاشتقاق المعادلات التفاضلية التي تصف سلوك هكذا أجسام، وتضاف بعض المعلومات عن المادة المدروسة عن طريق العلاقات التكوينية.

تتعامل ميكانيكا الأوساط المتصلة مع الخصائص الفيزيائية للمواد الصلبة والموائع المستقلة عن أي نظام إحداثيات يمكن مراقبتها فيه. ثم يعبَّر عن هذه الخصائص الفيزيائية بالمواتر، وهي أجسام رياضية لها الخاصية المطلوبة المتمثلة في كونها مستقلة عن نظام الإحداثيات لسهولة الحسابات.

لا تظهر السيارات من العدم ولا تختفي. لنأخذ أي مجموعة من السيارات: من السيارة المحددة الواقعة في خلف المجموعة في الموضع ${\displaystyle x=a(t)}$ إلى السيارة المحددة الموجودة أمام المجموعة في الموضع ${\displaystyle x=b(t)}$. العدد الإجمالي للسيارات في هذه المجموعة: ${\displaystyle N=\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx}$. بما أن السيارات محفوظة (إذا كان هناك تجاوز، فالسيارة في الخلف أو في الأمام ستتبدل، ولكن السيارات في المجموعة تظل نفسها) ${\displaystyle dN/dt=0}$. ولكن بواسطة قاعدة تكامل لايبنتز نحصل على:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}{\frac {dN}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t){\frac {db}{dt}}-\rho (a,t){\frac {da}{dt}}\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t)u(b,t)-\rho (a,t)u(a,t)\\&=\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)\right]dx\end{aligned}}}$

هذا التكامل يساوي الصفر لكل المجموعات، أي لكل المجالات ${\displaystyle [a,b]}$. الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يكون فيها التكامل معدومًا على كل المجالات هو إذا كان الحد المكامل مساويًا للصفر لأجل أي قيمة للمتغير ${\displaystyle x}$. بالتالي، ينتج عن الانحفاظ معادلة الانحفاظ التفاضلية الجزئية غير الخطية من المرتبة الأولى:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0}$

لكل المواضع على الطريق العام.

لا تنطبق هذه المعادلة التفاضلية الجزئية على حركة سير السيارات وحسب، بل تطبق نفسها على الموائع والأجسام الصلبة والحشود والحيوانات والنباتات وحرائق الغابات وحركة التجارة وما إلى ذلك.

المعادلة التفاضلية الجزئية السابقة هي معادلة واحدة بمجهولين، لذا نحتاج علاقة أخرى لتشكيل مسألة جيدة الطرح. نحتاج هكذا علاقة إضافية عادةً في ميكانيكا الأوساط المتصلة وتأتي عادةً تجريبيًّا. في حالة حركة سير السيارات من المتعارف عليه أن السيارات عادةً تسير بسرعة تعتمد على الكثافة، ${\displaystyle u=V(\rho )}$ لأجل تابع ما محدد تجريبيًّا ${\displaystyle V}$ هو تابع متناقص للكثافة. على سبيل المثال: وجدت التجارب في نفق لنكولن أنه يمكن الحصول على تابع مناسب (باستثناء حالة الكثافات المنخفضة) عن طريق ${\displaystyle u=V(\rho )=27.5\ln(142/\rho )}$ (كم/سا للكثافة المقدرة بسيارة/كم).

بالتالي فالنموذج البسيط للوسط المستمر في حالة حركة سير السيارات يعبر عنه بالمعادلة التفاضلية الجزئية:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[\rho V(\rho )]=0}$

لأجل كثافة السيارات ${\displaystyle \rho (x,t)}$ على الطريق السريع.