نظرية الإجهادات متناهية الصغر

من أجل تشوهات متناهية الصغر لجسم المتصل, والتي تكون فيها الإزاحة وتدرج الإزاحة صغيرة مقارنة بالوحدة، أي, ${\displaystyle \|\mathbf {u} \|\ll 1\,\!}$ و${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1\,\!}$, يكون من الممكن الخطية الهندسية لموتّر لاغرانج محدود الإجهاد ${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$, وموتّر أويلر محدود الإجهاد ${\displaystyle \mathbf {e} \,\!}$, مع إهمال الحدود الغير خطية، يكون لدينا

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {X} }^{T}+\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {X} }+\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {X} }^{T}\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {X} }\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {X} }^{T}+\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {X} }\right)\,\!}$

أو

${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)\,\!}$

و

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {x} }^{T}+\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {x} }-\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {x} }^{T}\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {x} }\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {x} }^{T}+\mathbf {u} \nabla _{\mathbf {x} }\right)\,\!}$

أو

${\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)\,\!}$

تقتضي هذه الخطية بأن الوصف اللاغرانجي والوصف الأويلري تكون نفسها تقريبا طالما هناك فرق بسيط في المادة والإحداثيات المكانية لنقطة مادة معطاة في المتصل. لهذا، تكون مركبات التدرج الإزاحي المادي والمكاني متساوية تقريبا وعليه

${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \nabla ^{T}+\mathbf {u} \nabla \right)\qquad {\text{or}}\qquad E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\,\!}$

حيث ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ مركبات الإجهاد متناهي الصغر ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\,\!}$, تدعى أيضا موتّر إجهاد كوشي, موتّر اجهاد خطي, أو موتّر إجهاد صغير.

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{matrix}}\right]}$

أو باستعمال علامات أخرى:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

أبعد من ذلك,

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {F} +\mathbf {F} ^{T}\right)-\mathbf {I} \,\!}$

بأخذ تعبيري لاغرانج وأويلر محدودي الإجهاد بعين الاعتبار يصبح لدينا

${\displaystyle \mathbf {E} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-I)\approx \varepsilon \,\!}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{(m)}={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-I)\approx \varepsilon \,\!}$

شكل1. تشوه هندسي ثنائي البعد لعنصر مادي متناهي الصغر.

باعتبار تشوه ثنائي البعد لعنصر مادي مستطيل متناهي الصغر بالأبعاد ${\displaystyle dx\,\!}$ × ${\displaystyle dy\,\!}$ (شكل 1), والتي تأخذ شكل المعين بعد التشوه يكون

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}dx\\\end{aligned}}\,\!}$

في كل تدرج إزاحة صغير, ${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1\,\!}$, لدينا

${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\,\!}$

يكون التشوه باتجاه العنصر المستطيل ${\displaystyle x\,\!}$-معرفا بـ

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}\,\!}$

وإذا علم أن ${\displaystyle {\overline {AB}}=dx\,\!}$, يصبح

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\,\!}$

بالمثل، الإجهاد العمودي باتجاه ${\displaystyle y\,\!}$, وباتجاه ${\displaystyle z\,\!}$ يصبح

${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\,\!}$

يعرف الإجهاد القصي الهندسي، التغير في الزاوية بين الخوط المتعامدة للمادة، في هذه الحالة الخط ${\displaystyle {\overline {AC}}\,\!}$ و${\displaystyle {\overline {AB}}\,\!}$, تعرف بالعلاقة

${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta \,\!}$

من الشكل الهندسي 1 لدينا

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\,\!}$

للدورانات الصغيرة، أي ${\displaystyle \alpha \,\!}$ و${\displaystyle \beta \,\!}$ و${\displaystyle \ll 1\,\!}$ لدينا

${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta \,\!}$

مرة أخرى، لتدرجات الإزاحة الصغيرة يكون لدينا

${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}$

على ذلك

${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\,\!}$

بالتبديل بين ${\displaystyle x\,\!}$ و${\displaystyle y\,\!}$ و${\displaystyle u_{x}\,\!}$ و${\displaystyle u_{y}\,\!}$, يمكن اثبات أن ${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}\,\!}$

يمكن ملاحظة أن مركبات اجهاد القص الموترية لموتر الإجهاد متناهي الصغر يمكن التعبير عنها باستخدام التعريف الهندسي للإجهاد, ${\displaystyle \gamma \,\!}$, بالعلاقة

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]\,\!}$

بالنسبة لمركبات الإجهاد الموصوفة سابقا ${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$ تمثل معادلة موتر الإجهاد ${\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}\,\!}$ نظاما من ست معادلات تفاضلية لإيجاد مركبات الإزاحة الثلاث ${\displaystyle u_{i}\,\!}$, بإعطاء نظاما مكتمل التحقيق. لذت، لايوجد حل بشكل عام لمركبات اختيارية من الإجهاد. لهذا السبب، يتم افتراض بعض القيود والتي تدعى معادلات التوافق. بإضافة معادلات التوافق الثلاث، يتم إنقاص المعادلات المستقلة إلى ثلاثة، والتي تتلائم مع مركبات الإزاحة المجهولة. اكتشفت هذه القيود من قبل ساينت- فينات، كما يطلق عليها "معادلات توافق ساينت-فينات".

تفيد دالة التوافق في التأكد من دالة ازاحة متصلة وحيدة القيمة ${\displaystyle u_{i}\,\!}$. إذا كان الوسط المرن مرئيا على هيئة مكعبات متناهية الصغر في الحالة اللاجهادية، بعد اجهاد الوسط، قد لاينتج عن موتر اجهاد اختياري حالة تظل فيها المكعبات متسقة فيما بينها بدون تداخل.

بعلامة المعامل، يعبر عن معادلات التوافق

${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0\,\!}$

العلامة الهندسية

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\,\!}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\,\!}$

في مركبات الهندسة التطبيقية, الاجهاد والتوتر هي موترات ثلاثية الأبعاد ولكن ذات بنية منشورية مثل قضيب معدني طويل، يكون الطول أكبر بكثير من البعدين الاخرين. يكون التوتر المصاحب للطول، أي التوتر العمودي ${\displaystyle \epsilon _{33}\,\!}$ وتوترات القص ${\displaystyle \epsilon _{13}\,\!}$ و${\displaystyle \epsilon _{23}\,\!}$ (إذا كان الطول هو البعد الثالث) يتم مقارنتها بمادة أخرى قريبة وتكون أصغر بالمقارنة بالتوترات المقطعية العرضية. يمكن مقاربة موتر الإجهاد حينئذ بالعلاقة:

${\displaystyle {\underline {\underline {\epsilon }}}={\begin{bmatrix}\epsilon _{11}&\epsilon _{12}&0\\\epsilon _{21}&\epsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\,\!}$

حيث تشير المعاملات ذات الخطوط المضاعفة إلى موتر من الرتبة الثانية. تدعى حالة التوتر توتر المستوى. يكون موتر الإجهاد المقابل هو:

${\displaystyle {\underline {\underline {\sigma }}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\,\!}$

حيث أن ${\displaystyle \sigma _{33}\,\!}$ الغير صفرية مطلوبة لإبقاء الثابت ${\displaystyle \epsilon _{33}=0\,\!}$. يمكن إزالة هذا الحد مؤقتا من التحليل والإبقاء على حدود المستوى، إنقاص المسألة الثلاثية البعد بكفاءة إلى مسألة ثنائية البعد.

الإجهاد ضد أو عكس المستوى هو حالة مكانية أخرى من الإجهاد التي يمكن أن تحدث في جسم، مثلا في منطقة قريبة من الخلع. يعطى موتر الإجهاد لضد المستوى بالعلاقة

${\displaystyle {\underline {\underline {\epsilon }}}={\begin{bmatrix}0&0&\epsilon _{13}\\0&0&\epsilon _{23}\\\epsilon _{13}&\epsilon _{23}&0\end{bmatrix}}\,\!}$

• إجهاد (فيزياء)
• مقياس الانفعال
• نسبة بواسون
• منحني الإجهاد-الانفعال
• قانون هوك

• بوابة الفيزياء